Find the transformation matrix that rotates a rectangular coordinate system through an angle of 120^circ about an axis making equal angles with the original three coordinate axes.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz de transformação que realiza uma rotação do sistema de coordenadas retangulares em um ângulo de 120^circ ao redor de um eixo que forma ângulos iguais com os três eixos coordenados originais. Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente matrizes de rotação em três dimensões, e entender como determinar a matriz de rotação em torno de um eixo arbitrário.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor do eixo de rotação. Como o eixo forma ângulos iguais com os três eixos coordenados, podemos representar esse vetor como u = 1raiz3(1, 1, 1). Normalizamos o vetor para simplificar os cálculos.

Passo 3

A próxima etapa é usar a fórmula da matriz de rotação em torno de um eixo arbitrário. A fórmula é:
R = costheta , I + (1 - costheta) , uu^T + sintheta , K
Onde:
  • theta é o ângulo de rotação ( 120^circ),
  • I é a matriz identidade,
  • u é o vetor diretor do eixo de rotação,
  • K é a matriz da forma:
K = 0 & -uz & uy uz & 0 & -ux -uy & ux & 0

Passo 4

Vamos converter o ângulo de 120^circ para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos:
theta = 120^circ = 2pi3 radianos
Calculando os valores de costheta e sintheta:
cos(2pi3) = -12, sin(2pi3) = raiz32

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz uu^T:
uu^T = 13 1 1 1 1 & 1 & 1 = 13 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 6

Em seguida, construímos a matriz K:
K = 0 & -1raiz3 & 1raiz3 1raiz3 & 0 & -1raiz3 -1raiz3 & 1raiz3 & 0

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da matriz de rotação:
R = (-12) I + (1 - (-12)) 13 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 + (raiz32) K
Simplificando:
R = -12 I + 32 cdot 13 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 + raiz32 K
R = -12 I + 12 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 + raiz32 K

Passo 8

Calculando cada parte:
-12 I = -12 & 0 & 0 0 & -12 & 0 0 & 0 & -12
12 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 = 12 & 12 & 12 12 & 12 & 12 12 & 12 & 12
raiz32 K = raiz32 0 & -1raiz3 & 1raiz3 1raiz3 & 0 & -1raiz3 -1raiz3 & 1raiz3 & 0 = 0 & -12 & 12 12 & 0 & -12 -12 & 12 & 0

Passo 9

Agora, somamos as três matrizes:
R = -12 & 0 & 0 0 & -12 & 0 0 & 0 & -12 + 12 & 12 & 12 12 & 12 & 12 12 & 12 & 12 + 0 & -12 & 12 12 & 0 & -12 -12 & 12 & 0
Calculando entrada por entrada:
R = -12 + 12 + 0 & 0 + 12 - 12 & 0 + 12 + 12 0 + 12 + 12 & -12 + 12 + 0 & 0 + 12 - 12 0 + 12 - 12 & 0 + 12 + 12 & -12 + 12 + 0
Simplificando:
R = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

Resposta

A matriz de transformação que realiza a rotação de 120^circ ao redor do eixo que forma ângulos iguais com os três eixos coordenados é:
R = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

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