Find the transformation matrix that rotates a rectangular coordinate system through an angle of about an axis making equal angles with the original three coordinate axes.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz de transformação que realiza uma rotação do sistema de coordenadas retangulares em um ângulo de ao redor de um eixo que forma ângulos iguais com os três eixos coordenados originais. Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente matrizes de rotação em três dimensões, e entender como determinar a matriz de rotação em torno de um eixo arbitrário.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor do eixo de rotação. Como o eixo forma ângulos iguais com os três eixos coordenados, podemos representar esse vetor como . Normalizamos o vetor para simplificar os cálculos.

Passo 3

A próxima etapa é usar a fórmula da matriz de rotação em torno de um eixo arbitrário. A fórmula é:
Onde:
  • é o ângulo de rotação ( ),
  • é a matriz identidade,
  • é o vetor diretor do eixo de rotação,
  • é a matriz da forma:

Passo 4

Vamos converter o ângulo de para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos:
Calculando os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz :

Passo 6

Em seguida, construímos a matriz :

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da matriz de rotação:
Simplificando:

Passo 8

Calculando cada parte:

Passo 9

Agora, somamos as três matrizes:
Calculando entrada por entrada:
Simplificando:

Resposta

A matriz de transformação que realiza a rotação de ao redor do eixo que forma ângulos iguais com os três eixos coordenados é:

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Resp.
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