Considere um corpo de massa
acoplado a uma mola ideal de constante elástica
e que se move sob a ação de uma força viscosa
, onde
é a velocidade do corpo e
uma constante, e de uma força externa periódica,
. Obtenha a equação do movimento e a solução geral dessa equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo de massa
preso a uma mola com constante elástica
. Esse corpo está sujeito a duas forças: uma força viscosa que depende da velocidade (
) e uma força externa periódica (
). Nosso objetivo é encontrar a equação do movimento desse sistema e resolver essa equação para obter a solução geral. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton e conhecimentos de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração (
). No nosso caso, as forças que atuam no corpo são a força da mola, a força viscosa e a força externa. Então, temos:
Aqui,
é a posição do corpo em função do tempo
.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Vamos chamar
e
, então a equação fica:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular da equação completa.
A solução geral é:
Onde:
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais. -
é a frequência angular do sistema amortecido. -
é a fase da resposta forçada.
Resposta
A equação do movimento é
E a solução geral dessa equação é
Onde:
-
-
-
e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
As coordenadas cilíndricas
estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por
. Escreva os vetores unitários
em termos de
,
e expresse a velocidade e a aceleração, v e a, em coordenadas cilíndricas.
Um foguete de massa inicial
começa a ejetar gases com velocidade de escape
, ganhando velocidade na direção oposta. Determine a variação de velocidade do foguete após queimar uma quantidade de combustível tal que sua massa se reduza a
.
Um sistema de partículas em repouso é formado por uma distribuição contínua de massa descrita pela densidade
. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.
A particle of mass
moves with constant speed
around a circle of radius
, starting at
from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time
, the force, and the torque about P .