Considere um corpo de massa m acoplado a uma mola ideal de constante elástica k e que se move sob a ação de uma força viscosa Fv=-b v, onde v é a velocidade do corpo e b uma constante, e de uma força externa periódica, Fp=F0 cos omega t. Obtenha a equação do movimento e a solução geral dessa equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo de massa preso a uma mola com constante elástica . Esse corpo está sujeito a duas forças: uma força viscosa que depende da velocidade ( ) e uma força externa periódica ( ). Nosso objetivo é encontrar a equação do movimento desse sistema e resolver essa equação para obter a solução geral. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton e conhecimentos de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração ( m d^2 xdt^2 = -k x - b dxdt + F0 cos omega t ). No nosso caso, as forças que atuam no corpo são a força da mola, a força viscosa e a força externa. Então, temos:
Aqui, é a posição do corpo em função do tempo .

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
m d^2 xdt^2 + b dxdt + k x = F0 cos omega t
Dividindo todos os termos por d^2 xdt^2 + bm dxdt + km x = F0m cos omega t para simplificar:
d^2 xdt^2 + gamma dxdt + omega0^2 x = F0m cos omega t
Vamos chamar e , então a equação fica:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( x(t) = e^-gamma2 t ( C1 cos omega1 t + C2 sin omega1 t ) + F0/mraiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (gamma omega)^2 cos (omega t - phi) ) e de uma solução particular da equação completa.
A solução geral é:
Onde:
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • é a frequência angular do sistema amortecido.
  • é a fase da resposta forçada.

Resposta

A equação do movimento é
m d^2 xdt^2 + b dxdt + k x = F0 cos omega t
E a solução geral dessa equação é
x(t) = e^-b2m t ( C1 cos omega1 t + C2 sin omega1 t ) + F0/mraiz( omega0^2 - omega^2 )^2 + (b omega / m)^2 cos (omega t - phi)
Onde:
  • e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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