Um sistema de partículas em repouso é formado por uma distribuição contínua de massa descrita pela densidade rho=rho0 exp (-r) sin ^2 theta. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um sistema de partículas que está parado, e a distribuição de massa desse sistema é descrita pela densidade . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e entender como calcular o centro de massa usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa xcm = 1M integral x , dm, ycm = 1M integral y , dm, zcm = 1M integral z , dm de um sistema contínuo de massa é dado pelas fórmulas:
onde é a massa total do sistema, calculada por .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto no espaço é descrito por x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta . As relações para converter essas coordenadas para cartesianas são:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dm = rho , dV = rho0 e^-r sin^2theta cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = rho0 e^-r r^2 sin^3theta , dr , dtheta , dphi
E o elemento de massa é:

Passo 4

Vamos calcular a massa total M = integral dm = rho0 integral0^infty e^-r r^2 dr integral0^pi sin^3theta , dtheta integral0^2pi dphi :
M = rho0 times 2 times 43 times 2pi = 163 pi rho0
Primeiro, calculamos cada integral separadamente:
  1. (usando a integral de Gamma), então é igual a 2.
  2. .
  3. .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular xcm = 0, ycm = 0 e . Observe que as funções de e envolvem e , respectivamente. Como a densidade não depende de e estamos integrando de a , essas integrais vão se anular devido à simetria. Portanto,

Passo 6

Focando agora em zcm = 1M integral z , dm = 1M rho0 integral0^infty e^-r r^3 dr integral0^pi sin^4theta , dtheta integral0^2pi dphi :
integral z , dm = rho0 times 6 times 3pi8 times 2pi = rho0 times 368 pi^2 = 92 pi^2 rho0
Calculando cada parte:
  1. zcm = 92 pi^2 rho0163 pi rho0 = 9 pi2 times 316 = 27 pi32 .
  2. .
  3. .
Então,
Portanto,

Resposta

As coordenadas do centro de massa do sistema são .

Exercícios relacionados

Considere um corpo de massa m acoplado a uma mola ideal de constante elástica k e que se move sob a ação de uma força viscosa Fv=-b v, onde v é a velocidade do corpo e b uma constante, e de uma força externa periódica, Fp=F0 cos omega t. Obtenha a equação do movimento e a solução geral dessa equação.
As coordenadas cilíndricas rho, varphi, z^prime estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por x=rho cos varphi, y=rho sin varphi, z^prime=z. Escreva os vetores unitários rho, varphi em termos de x, y, z e expresse a velocidade e a aceleração, v e a, em coordenadas cilíndricas.
A particle of mass m moves with constant speed v around a circle of radius r, starting at t=0 from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time t, the force, and the torque about P .
A particle of mass m moves under the action of a central force whose potential is
V(r)=K r^4, K>0
For what energy and angular momentum will the orbit be a circle of radius a about the origin? What is the period of this circular motion? If the particle is slightly disturbed from this circular motion, what will be the period of small radial oscillations about r=a ?