Um sistema de partículas em repouso é formado por uma distribuição contínua de massa descrita pela densidade
. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um sistema de partículas que está parado, e a distribuição de massa desse sistema é descrita pela densidade
. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e entender como calcular o centro de massa usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de um sistema contínuo de massa é dado pelas fórmulas:
onde
é a massa total do sistema, calculada por
.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto no espaço é descrito por
. As relações para converter essas coordenadas para cartesianas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
E o elemento de massa é:
Passo 4
Vamos calcular a massa total
:
Primeiro, calculamos cada integral separadamente:
-
(usando a integral de Gamma), então é igual a 2. -
. -
.
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
. Observe que as funções de
e
envolvem
e
, respectivamente. Como a densidade não depende de
e estamos integrando de
a
, essas integrais vão se anular devido à simetria. Portanto,
Passo 6
Focando agora em
:
Calculando cada parte:
-
. -
. -
.
Então,
Portanto,
Resposta
As coordenadas do centro de massa do sistema são
.
Exercícios relacionados
Considere um corpo de massa
acoplado a uma mola ideal de constante elástica
e que se move sob a ação de uma força viscosa
, onde
é a velocidade do corpo e
uma constante, e de uma força externa periódica,
. Obtenha a equação do movimento e a solução geral dessa equação.
As coordenadas cilíndricas
estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por
. Escreva os vetores unitários
em termos de
,
e expresse a velocidade e a aceleração, v e a, em coordenadas cilíndricas.
A particle of mass
moves with constant speed
around a circle of radius
, starting at
from a point P on the circle. Find the angular momentum about the point P at any time
, the force, and the torque about P .
A particle of mass
moves under the action of a central force whose potential is
For what energy and angular momentum will the orbit be a circle of radius
about the origin? What is the period of this circular motion? If the particle is slightly disturbed from this circular motion, what will be the period of small radial oscillations about
?