Um sistema de partículas em repouso é formado por uma distribuição contínua de massa descrita pela densidade rho=rho0 exp (-r) sin ^2 theta. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um sistema de partículas que está parado, e a distribuição de massa desse sistema é descrita pela densidade . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e entender como calcular o centro de massa usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa xcm = 1M integral x , dm, ycm = 1M integral y , dm, zcm = 1M integral z , dm de um sistema contínuo de massa é dado pelas fórmulas:
onde é a massa total do sistema, calculada por .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto no espaço é descrito por x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta . As relações para converter essas coordenadas para cartesianas são:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dm = rho , dV = rho0 e^-r sin^2theta cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = rho0 e^-r r^2 sin^3theta , dr , dtheta , dphi
E o elemento de massa é:

Passo 4

Vamos calcular a massa total M = integral dm = rho0 integral0^infty e^-r r^2 dr integral0^pi sin^3theta , dtheta integral0^2pi dphi :
M = rho0 times 2 times 43 times 2pi = 163 pi rho0
Primeiro, calculamos cada integral separadamente:
  1. (usando a integral de Gamma), então é igual a 2.
  2. .
  3. .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular xcm = 0, ycm = 0 e . Observe que as funções de e envolvem e , respectivamente. Como a densidade não depende de e estamos integrando de a , essas integrais vão se anular devido à simetria. Portanto,

Passo 6

Focando agora em zcm = 1M integral z , dm = 1M rho0 integral0^infty e^-r r^3 dr integral0^pi sin^4theta , dtheta integral0^2pi dphi :
integral z , dm = rho0 times 6 times 3pi8 times 2pi = rho0 times 368 pi^2 = 92 pi^2 rho0
Calculando cada parte:
  1. zcm = 92 pi^2 rho0163 pi rho0 = 9 pi2 times 316 = 27 pi32 .
  2. .
  3. .
Então,
Portanto,

Resposta

As coordenadas do centro de massa do sistema são .

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