Um sistema de partículas em repouso é formado por uma distribuição contínua de massa descrita pela densidade
. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um sistema de partículas que está parado, e a distribuição de massa desse sistema é descrita pela densidade
. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas esféricas e entender como calcular o centro de massa usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de um sistema contínuo de massa é dado pelas fórmulas:
onde
é a massa total do sistema, calculada por
.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto no espaço é descrito por
. As relações para converter essas coordenadas para cartesianas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
E o elemento de massa é:
Passo 4
Vamos calcular a massa total
:
Primeiro, calculamos cada integral separadamente:
-
(usando a integral de Gamma), então é igual a 2. -
. -
.
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
. Observe que as funções de
e
envolvem
e
, respectivamente. Como a densidade não depende de
e estamos integrando de
a
, essas integrais vão se anular devido à simetria. Portanto,
Passo 6
Focando agora em
:
Calculando cada parte:
-
. -
. -
.
Então,
Portanto,
Resposta
As coordenadas do centro de massa do sistema são
.