As coordenadas cilíndricas rho, varphi, z^prime estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por x=rho cos varphi, y=rho sin varphi, z^prime=z. Escreva os vetores unitários rho, varphi em termos de x, y, z e expresse a velocidade e a aceleração, v e a, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos trabalhar com coordenadas cilíndricas e cartesianas. Especificamente, a tarefa é:
  1. Escrever os vetores unitários rho e varphi em termos de x, y, e z.
  2. Expressar a velocidade v e a aceleração a nas coordenadas cilíndricas.
Para isso, vamos precisar entender como os vetores unitários se relacionam entre esses sistemas de coordenadas e como calcular derivadas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como os vetores unitários rho e varphi se relacionam com os vetores unitários cartesianas x e y.
Em coordenadas cilíndricas, rho aponta na direção radial a partir da origem, e varphi é perpendicular a rho, apontando na direção do aumento do ângulo varphi.
Pelas relações dadas:
x = rho cos varphi y = rho sin varphi z^prime = z
Podemos expressar os vetores unitários como:
rho = cos varphi, x + sin varphi, y varphi = -sin varphi, x + cos varphi, y z = z

Passo 3

Agora, vamos expressar a velocidade v em coordenadas cilíndricas. A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por:
r = rho, rho + z, z
Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
v = drdt = drhodt, rho + rho, drhodt + dzdt, z
Sabemos que drhodt = dvarphidt, varphi, então:
v = dotrho, rho + rho, dotvarphi, varphi + dotz, z

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração a. A aceleração é a derivada da velocidade:
a = dvdt
Derivando cada termo da velocidade:
  1. Para dotrho, rho:
    ddt(dotrho, rho) = ddotrho, rho + dotrho, dotvarphi, varphi
  2. Para rho, dotvarphi, varphi:
    ddt(rho, dotvarphi, varphi) = dotrho, dotvarphi, varphi + rho, ddotvarphi, varphi - rho, dotvarphi^2, rho
  3. Para dotz, z:
    ddt(dotz, z) = ddotz, z
Somando todos os termos:
a = (ddotrho - rho, dotvarphi^2), rho + (2, dotrho, dotvarphi + rho, ddotvarphi), varphi + ddotz, z

Resposta

Portanto, os vetores unitários e as expressões para a velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas são:
rho = cos varphi, x + sin varphi, y varphi = -sin varphi, x + cos varphi, y v = dotrho, rho + rho, dotvarphi, varphi + dotz, z a = (ddotrho - rho, dotvarphi^2), rho + (2, dotrho, dotvarphi + rho, ddotvarphi), varphi + ddotz, z

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