As coordenadas cilíndricas
estão relacionadas com as coordenadas cartesianas por
. Escreva os vetores unitários
em termos de
,
e expresse a velocidade e a aceleração, v e a, em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos trabalhar com coordenadas cilíndricas e cartesianas. Especificamente, a tarefa é:
- Escrever os vetores unitários
e em termos de , , e . - Expressar a velocidade
e a aceleração nas coordenadas cilíndricas.
Para isso, vamos precisar entender como os vetores unitários se relacionam entre esses sistemas de coordenadas e como calcular derivadas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir como os vetores unitários
e
se relacionam com os vetores unitários cartesianas
e
.
Em coordenadas cilíndricas,
aponta na direção radial a partir da origem, e
é perpendicular a
, apontando na direção do aumento do ângulo
.
Pelas relações dadas:
Podemos expressar os vetores unitários como:
Passo 3
Agora, vamos expressar a velocidade
em coordenadas cilíndricas. A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por:
Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade:
Derivando cada termo da velocidade:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Somando todos os termos:
Resposta
Portanto, os vetores unitários e as expressões para a velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas são: