Considere um corpo de massa m em queda livre com resistência do ar dependendo quadraticamente da velocidade. Se h = h(t) denota a distância do objeto ao solo, g é a aceleração da gravidade e beta > 0 é um coeficiente de resistência, determine a equação diferencial que modela o problema, independente do objeto estar descendo ou subindo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar a queda livre de um corpo de massa considerando a resistência do ar que depende quadraticamente da velocidade. Isso faz parte da matéria de Mecânica, mais especificamente no estudo de Forças e Equações do Movimento. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar as leis de Newton e incorporar a resistência do ar na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas forças principais:
  1. Peso ( ): Que é a força da gravidade puxando o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Resistência do ar ( ): Que depende da velocidade do corpo e age na direção contrária ao movimento. Como a resistência é quadrática, podemos expressá-la como , onde é o coeficiente de resistência e é a velocidade.

Passo 3

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante ( ) é igual à massa ( ) multiplicada pela aceleração ( ):
A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 4

Vamos considerar a direção positiva para cima. Assim, o peso atua para baixo (-) e a resistência do ar depende do sentido da velocidade:
  • Se o objeto está descendo, , então a resistência do ar atua para cima (+).
  • Se o objeto está subindo, , então a resistência do ar atua para baixo (-).
Para generalizar e não depender do sentido, podemos escrever a resistência como . Isso garante que sempre age na direção oposta ao movimento.

Passo 5

Agora, juntamos as forças na equação da Segunda Lei de Newton:
Rearranjando os termos, temos:

Resposta

A equação diferencial que modela o problema é:

Exercícios relacionados