Considere um corpo de massa
em queda livre com resistência do ar dependendo quadraticamente da velocidade. Se
denota a distância do objeto ao solo,
é a aceleração da gravidade e
é um coeficiente de resistência, determine a equação diferencial que modela o problema, independente do objeto estar descendo ou subindo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para modelar a queda livre de um corpo de massa
considerando a resistência do ar que depende quadraticamente da velocidade. Isso faz parte da matéria de Mecânica, mais especificamente no estudo de Forças e Equações do Movimento. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar as leis de Newton e incorporar a resistência do ar na equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas forças principais:
- Peso (
): Que é a força da gravidade puxando o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Resistência do ar (
): Que depende da velocidade do corpo e age na direção contrária ao movimento. Como a resistência é quadrática, podemos expressá-la como , onde é o coeficiente de resistência e é a velocidade.
Passo 3
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante (
) é igual à massa (
) multiplicada pela aceleração (
):
A aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 4
Vamos considerar a direção positiva para cima. Assim, o peso
atua para baixo (-) e a resistência do ar depende do sentido da velocidade:
- Se o objeto está descendo,
, então a resistência do ar atua para cima (+). - Se o objeto está subindo,
, então a resistência do ar atua para baixo (-).
Para generalizar e não depender do sentido, podemos escrever a resistência como
. Isso garante que
sempre age na direção oposta ao movimento.
Passo 5
Agora, juntamos as forças na equação da Segunda Lei de Newton:
Rearranjando os termos, temos:
Resposta
A equação diferencial que modela o problema é: