Sabendo que a meia-vida do Carbono-14 é de aproximadamente t_1/2 = 5730 anos e que para um certo fóssil, x1 = x0 * raiz(2) / 2, qual a idade do fóssil em consideração?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre a meia-vida do Carbono-14, que é de aproximadamente anos. O exercício nos diz que a quantidade de Carbono-14 no fóssil reduziu para , onde x_0 é a quantidade inicial. Nosso objetivo é descobrir a idade desse fóssil. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de decaimento exponencial, que envolve logaritmos e a compreensão de meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Aqui, x(t) é a quantidade de Carbono-14 após tempo t, x_0 é a quantidade inicial, e é a meia-vida.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Vamos substituir isso na fórmula:

Passo 4

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por x_0:
Agora, para resolver para t, vamos usar logaritmos.

Passo 5

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

Passo 6

Simplificando os logaritmos:
e

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Os sinais negativos se cancelam:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 5730 para isolar t:

Resposta

A idade do fóssil é de aproximadamente 2865 anos.

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