Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular
com as condições de contorno dadas.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é descobrir a temperatura de estado estacionário em uma chapa retangular. Em termos matemáticos, estamos lidando com a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1
As condições de contorno nos dizem como a temperatura está distribuída nas bordas da chapa:
Em ,
Em ,
As derivadas em e são zero, o que significa que não há fluxo de calor nessas bordas.
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis para resolver essa equação e encontrar a distribuição de temperatura na chapa.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução u(x, y) = X(x)Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de d^2Xdx^2Y + Xd^2Ydy^2 = 0 e outra que depende apenas de 1Xd^2Xdx^2 + 1Yd^2Ydy^2 = 0 :
1Xd^2Xdx^2 = -lambda e 1Yd^2Ydy^2 = lambda
Substituindo isso na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Como cada termo depende de uma única variável, eles devem ser iguais a uma constante negativa para que a equação seja satisfeita para todos os e . Vamos chamar essa constante de :
Passo 3
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para d^2Xdx^2 + lambda X = 0 :
d^2Ydy^2 - lambda Y = 0
Para Xn(x) = An sin(npi x) + Bn cos(npi x) :
Yn(y) = Cn e^npi y + Dn e^-npi y
A solução geral para a primeira equação depende de . Para obter soluções não-triviais, deve ser positivo, então vamos definir , onde é um número inteiro e (já que varia de 0 a 1).
Assim, as soluções são:
E para :
Passo 4
Vamos agora aplicar as condições de contorno para determinar os coeficientes.
Primeiro, consideramos que a temperatura é zero em u(0, y) = X(0)Y(y) = 0 :
Xn(0) = An sin(0) + Bn cos(0) = Bn = 0
Para que isso seja válido para qualquer , devemos ter . A partir da forma de :
Então, .
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição em u(1, y) = X(1)Y(y) = sumn=1^infty An sin(npi) Yn(y) = 1 - y :
Note que para qualquer inteiro , o que sugere que a série não converge diretamente para . Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem usando a expansão em série de Fourier para representar nas condições de contorno.
Passo 6
Vamos expressar a condição 1 - y = sumn=1^infty An sin(npi) Yn(y) como uma série de senos:
Como , precisamos encontrar os coeficientes , e que satisfaçam essa igualdade.
Assumindo simetria devido às condições de derivada nas bordas e , podemos simplificar para funções cossenos, o que facilita a solução.
Passo 7
Finalmente, combinando todas as condições e resolvendo para os coeficientes, obtemos a solução em série que representa a distribuição de temperatura na chapa: