Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os autovalores ( ) e as autofunções de um problema de contorno específico. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições de contorno. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições de contorno para determinar os valores de que satisfazem o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
Como nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:
Essa é a equação característica da EDO.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica para :
Calculando o discriminante ( ):
Dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de soluções para :
  • Se : soluções reais e distintas.
  • Se : soluções reais e iguais.
  • Se : soluções conjugadas complexas.

Passo 5

Para termos soluções não triviais (não todas as constantes zero), precisamos que as condições de contorno sejam satisfeitas. As condições são:
Vamos analisar cada caso com base no discriminante.

Caso 1: ( )

As soluções serão reais e distintas:
A solução geral é:
Aplicando :
Aplicando :
Para soluções não triviais, o termo entre parênteses deve ser zero, o que não ocorre para . Portanto, não há autovalores neste caso.

Caso 2: ( )

As soluções são reais e iguais:
A solução geral é:
Aplicando :
Aplicando :
Somente a solução trivial satisfaz as condições, então não é um autovalor válido.

Caso 3: ( )

As soluções são complexas conjugadas:
A solução geral é:
Aplicando :
Então, a solução simplifica para:
Aplicando :
Para soluções não triviais ( ), precisamos que . Isso ocorre quando:
Resolvendo para :

Resposta

Os autovalores são:
E as correspondentes autofunções são:
Onde são constantes de normalização.

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(1) ;
Rpt. .
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c)