Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os autovalores (
) e as autofunções
de um problema de contorno específico. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições de contorno. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições de contorno para determinar os valores de
que satisfazem o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:
Essa é a equação característica da EDO.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica para
:
Calculando o discriminante (
):
Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções para
:
- Se
: soluções reais e distintas. - Se
: soluções reais e iguais. - Se
: soluções conjugadas complexas.
Passo 5
Para termos soluções não triviais (não todas as constantes zero), precisamos que as condições de contorno sejam satisfeitas. As condições são:
Vamos analisar cada caso com base no discriminante.
Caso 1:
(
)
As soluções serão reais e distintas:
A solução geral é:
Aplicando
:
Aplicando
:
Para soluções não triviais, o termo entre parênteses deve ser zero, o que não ocorre para
. Portanto, não há autovalores neste caso.
Caso 2:
(
)
As soluções são reais e iguais:
A solução geral é:
Aplicando
:
Aplicando
:
Somente a solução trivial
satisfaz as condições, então
não é um autovalor válido.
Caso 3:
(
)
As soluções são complexas conjugadas:
A solução geral é:
Aplicando
:
Então, a solução simplifica para:
Aplicando
:
Para soluções não triviais (
), precisamos que
. Isso ocorre quando:
Resolvendo para
:
Resposta
Os autovalores são:
E as correspondentes autofunções são:
Onde
são constantes de normalização.
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, qual a idade do fóssil em consideração?
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(1) ;
Rpt. .
(1)
Rpt.
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c)
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