Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente constante, temos a relação:
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar
e resfriando a substância de
para
em 25 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de
. Resp.: Temos que
. Assim,
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Estamos lidando com a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Precisamos descobrir em quanto tempo a temperatura de uma substância vai de 70°C para 40°C, sabendo que ela esfriou de 100°C para 70°C em 25 minutos, com a temperatura ambiente sendo 30°C.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que representa a Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui,
é a temperatura do objeto no tempo
,
é a temperatura ambiente (30°C) e
é uma constante que depende do material.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados. A solução geral da equação é:
Onde:
-
é a temperatura inicial do objeto. -
é a base dos logaritmos naturais.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos usar a informação de que a temperatura caiu de 100°C para 70°C em 25 minutos para encontrar a constante
. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 70:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, podemos agora determinar o tempo necessário para que a temperatura caia de 70°C para 40°C. Usando a mesma equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 40:
Passo 7
Novamente, vamos resolver para
tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Substituindo
:
Resposta
O momento em que a temperatura da substância será de 40°C é aproximadamente 62 minutos.