Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se é a temperatura do objeto no tempo e é a temperatura ambiente constante, temos a relação:
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar e resfriando a substância de para em 25 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de . Resp.: Temos que . Assim, .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Estamos lidando com a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Precisamos descobrir em quanto tempo a temperatura de uma substância vai de 70°C para 40°C, sabendo que ela esfriou de 100°C para 70°C em 25 minutos, com a temperatura ambiente sendo 30°C.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que representa a Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui, é a temperatura do objeto no tempo , é a temperatura ambiente (30°C) e é uma constante que depende do material.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados. A solução geral da equação é:
Onde:
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • é a base dos logaritmos naturais.
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos usar a informação de que a temperatura caiu de 100°C para 70°C em 25 minutos para encontrar a constante . Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 70:

Passo 5

Agora, vamos resolver para tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:

Passo 6

Com o valor de encontrado, podemos agora determinar o tempo necessário para que a temperatura caia de 70°C para 40°C. Usando a mesma equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 40:

Passo 7

Novamente, vamos resolver para tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Substituindo :

Resposta

O momento em que a temperatura da substância será de 40°C é aproximadamente 62 minutos.

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Faça o estudo de sinais das funções abaixo.
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