Considere um corpo de prova cilíndrico de alguma liga metálica hipotética que possui um diâmetro de 10,0 mm ( 0,39 in ). Uma força de tração de 1500 N(340 lbf) produz uma redução elástica, no diâmetro, de 6,7 times 10^-4 mm (2,64 times 10^-5 in). Calcule o módulo de elasticidade para essa liga, dado que o coeficiente de Poisson é 0,35.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre tensão e deformação em materiais. Precisamos calcular o módulo de elasticidade (também conhecido como módulo de Young) para uma liga metálica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como tensão (σ), deformação (ε) e o coeficiente de Poisson (ν). Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos no problema:
  • Diâmetro original (D): 10,0 mm
  • Força de tração (F): 1500 N
  • Redução elástica no diâmetro (ΔD): 6,7 times 10^-4 mm
  • Coeficiente de Poisson (ν): 0,35
Nosso objetivo é encontrar o módulo de elasticidade (E) dessa liga.

Passo 3

Vamos começar calculando a área da seção transversal do cilindro. Como o corpo de prova é cilíndrico, a área $ A $ é dada pela fórmula da área de um círculo:
A
Substituindo o valor de $ D = 10,0 $ mm:
A = pi D^24

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão (σ), que é a força dividida pela área:
sigma = FA
Substituindo os valores:
sigma = 1500 , N78,54 , mm^2 approx 19,09 , N/mm^2

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a deformação transversal (ε_trans), que é a redução no diâmetro dividida pelo diâmetro original:
epsilontrans = De
Substituindo os valores:
epsilontrans = 6,7 times 10^-4 , mm10,0 , mm = 6,7 times 10^-5

Passo 6

O coeficiente de Poisson (ν) relaciona a deformação transversal com a deformação axial (longitudinal). A relação é:
epsilontrans = -nu epsilonaxial
Podemos reorganizar essa equação para encontrar a deformação axial:
epsilonaxial = -epsilontransnu
Substituindo os valores:
epsilonaxial = -6,7 times 10^-50,35 approx -1,914 times 10^-4
(O sinal negativo indica que a deformação axial é oposta à deformação transversal, mas para o cálculo do módulo de elasticidade, vamos usar o valor absoluto.)

Passo 7

Agora, podemos calcular o módulo de elasticidade (E) usando a fórmula:
E = sigmaepsilonaxial
Substituindo os valores que encontramos:
E = 19,09 , N/mm^21,914 times 10^-4 approx 99.700 , N/mm^2

Resposta

O módulo de elasticidade para essa liga metálica é aproximadamente $ 99.700 , N/mm^2 $ ou $ 99,7 , GPa $.

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