Considere um corpo rígido
onde R é o raio do objeto,
sua massa e
um número que depende da forma. O corpo desce rolando (sem deslizar) apartir do topo de um plano inclinado de altura
e inclinação
, partindo do repouso. Existe atrito entre o objeto e a rampa. (a) Explique por que, mesmo com a presença deste atrito, podemos considerar que a energia mecânica se conserva. (b) Empregando a conservação da energia mecânica, obtenha a velocidade de translação do centro de massa na base da rampa em função da gravidade
, altura
e do fator
. © Obtenha a aceleração (translacional) do centro de massa em função de g,
e
caso este objeto. (d) Se colocássemos uma esfera maciça e um anel, para descerem juntos (partindo do repouso) neste plano inclinado, qual chegaria primeiro na base da rampa? Justifique! R: b)
, c)
d) a esfera
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos um corpo rígido que rola num plano inclinado sem deslizar. A fórmula dada é
, onde:
-
é o raio do objeto, -
é a massa, -
é um número que depende da forma do objeto.
Precisamos usar conceitos de Energia Mecânica e Dinâmica de Rotação para resolver as partes (a), (b), © e (d). Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Por que podemos considerar que a energia mecânica se conserva mesmo com atrito?
Mesmo tendo atrito, o enunciado diz que o objeto rola sem deslizar. Isso significa que o atrito é estático e não gera perdas de energia (como o atrito cinético faria). Portanto, não há dissipação de energia em forma de calor, e podemos considerar que a energia mecânica total (cinética + potencial) é conservada.
Passo 3
Parte (b): Encontrar a velocidade de translação do centro de massa na base da rampa.
Vamos usar a conservação da energia mecânica. No topo da rampa, o objeto tem energia potencial
e energia cinética zero. Na base, a energia potencial é zero, e a energia cinética é dividida entre translacional e rotacional.
A energia cinética total na base é:
Como o objeto rola sem deslizar, temos
. Substituindo
:
Pela conservação da energia:
Cancelando
e resolvendo para
:
Passo 4
Parte ©: Determinar a aceleração translacional do centro de massa.
Sabemos que a aceleração
está relacionada à força resultante e à massa. Usando a inclinação
, a componente da gravidade que acelera o objeto é
.
A força de atrito
está relacionada à rotação:
Como
, temos:
A força resultante na direção do movimento é:
Substituindo
:
Dividindo tudo por
:
Então:
Passo 5
Parte (d): Se colocarmos uma esfera maciça e um anel, qual chega primeiro na base da rampa?
Para resolver isso, vamos comparar os valores de
para cada objeto.
- Esfera: Para uma esfera sólida,
. Então, . - Anel: Para um anel,
. Então, .
A aceleração
. Quanto menor for
, maior a aceleração.
- Para a esfera,
. - Para o anel,
.
Como
, a esfera acelera mais e, portanto, chega primeiro na base da rampa.
Resposta
(b)
©
(d) A esfera chega primeiro na base da rampa.
Exercícios relacionados
Sob a ação de duas forças, uma partícula se move com velocidade constante
. Uma das forças é
. Qual é a outra?
Duas forças horizontais agem sobre um bloco de madeira de
que pode deslizar sem atrito na bancada de uma cozinha, situada em um plano
. Uma das forças é
. Determine a aceleração do bloco em termos dos vetores unitários se a outra forca é (a)
, (b)
e ©
.
Um foguete é acelerado, para cima, até atingir uma velocidade
nas vizinhanças da superfície da Terra, onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Depois disto, sua propulsão é desligada. a) Mostre que este foguete escapará da atração terrestre. b) Mostre que no infinito sua velocidade será
.
Calcule a velocidade escalar média nos seguintes casos: (a) Você percorre uma distância de
a uma velocidade de
, depois, corre
a uma velocidade de
, em uma pista retilínea. (b) Você caminha durante
a uma velocidade de 1,2
e, depois corre
a uma velocidade de
na mesma pista. Resp.: (a)
; (b)
.