Considere um corpo rígido
IC M=beta M R^2 onde R é o raio do objeto, M sua massa e beta um número que depende da forma. O corpo desce rolando (sem deslizar) apartir do topo de um plano inclinado de altura h e inclinação theta, partindo do repouso. Existe atrito entre o objeto e a rampa. (a) Explique por que, mesmo com a presença deste atrito, podemos considerar que a energia mecânica se conserva. (b) Empregando a conservação da energia mecânica, obtenha a velocidade de translação do centro de massa na base da rampa em função da gravidade g, altura h e do fator beta. © Obtenha a aceleração (translacional) do centro de massa em função de g, theta e beta caso este objeto. (d) Se colocássemos uma esfera maciça e um anel, para descerem juntos (partindo do repouso) neste plano inclinado, qual chegaria primeiro na base da rampa? Justifique! R: b) raiz2 g h /(1+beta), c) g sen theta /(1+beta) d) a esfera

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão primeiro! Temos um corpo rígido que rola num plano inclinado sem deslizar. A fórmula dada é , onde:
  • é o raio do objeto,
  • é a massa,
  • é um número que depende da forma do objeto.
Precisamos usar conceitos de Energia Mecânica e Dinâmica de Rotação para resolver as partes (a), (b), © e (d). Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Por que podemos considerar que a energia mecânica se conserva mesmo com atrito?
Mesmo tendo atrito, o enunciado diz que o objeto rola sem deslizar. Isso significa que o atrito é estático e não gera perdas de energia (como o atrito cinético faria). Portanto, não há dissipação de energia em forma de calor, e podemos considerar que a energia mecânica total (cinética + potencial) é conservada.

Passo 3

Parte (b): Encontrar a velocidade de translação do centro de massa na base da rampa.
Vamos usar a conservação da energia mecânica. No topo da rampa, o objeto tem energia potencial Ec = 12 M v^2 + 12 ICM omega^2 e energia cinética zero. Na base, a energia potencial é zero, e a energia cinética é dividida entre translacional e rotacional.
A energia cinética total na base é:
Ec = 12 M v^2 + 12 beta M R^2 (vR)^2 = 12 M v^2 (1 + beta)
Como o objeto rola sem deslizar, temos Mgh = 12 M v^2 (1 + beta) . Substituindo v = raiz2gh1 + beta :
Pela conservação da energia:
Cancelando e resolvendo para :

Passo 4

Parte ©: Determinar a aceleração translacional do centro de massa.
Sabemos que a aceleração f R = ICM alpha está relacionada à força resultante e à massa. Usando a inclinação f = ICM aR^2 = beta M a , a componente da gravidade que acelera o objeto é Mg sin theta - f = Ma .
A força de atrito Mg sin theta - beta M a = Ma está relacionada à rotação:
g sin theta = a (1 + beta)
Como a = g sin theta1 + beta , temos:
A força resultante na direção do movimento é:
Substituindo :
Dividindo tudo por :
Então:

Passo 5

Parte (d): Se colocarmos uma esfera maciça e um anel, qual chega primeiro na base da rampa?
Para resolver isso, vamos comparar os valores de para cada objeto.
  • Esfera: Para uma esfera sólida, . Então, .
  • Anel: Para um anel, . Então, .
A aceleração . Quanto menor for , maior a aceleração.
  • Para a esfera, .
  • Para o anel, .
Como , a esfera acelera mais e, portanto, chega primeiro na base da rampa.

Resposta

(b)
©
(d) A esfera chega primeiro na base da rampa.

Exercícios relacionados