Um foguete é acelerado, para cima, até atingir uma velocidade nas vizinhanças da superfície da Terra, onde é o raio da Terra e é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Depois disto, sua propulsão é desligada. a) Mostre que este foguete escapará da atração terrestre. b) Mostre que no infinito sua velocidade será .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que é acelerado para cima até atingir uma velocidade de , onde é o raio da Terra e é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Depois disso, a propulsão do foguete é desligada. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que o foguete escapará da atração terrestre.
b) Mostrar que, no infinito, a velocidade do foguete será .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia mecânica, energia cinética e potencial gravitacional, além das condições para um objeto escapar da atração gravitacional da Terra.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Para que o foguete escape da atração terrestre, a energia total (cinética + potencial) dele precisa ser pelo menos zero ao infinito. A energia cinética inicial do foguete é e a energia potencial gravitacional é , onde é a constante gravitacional e é a massa da Terra.
Mas é mais simples usar a velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para escapar da gravidade sem propulsão adicional. A velocidade de escape é dada por:
Sabemos que , então podemos substituir de :
Comparando com a velocidade do foguete , vemos que:
Como a velocidade do foguete é maior que a velocidade de escape, ele certamente escapará da atração terrestre.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, no infinito, a velocidade do foguete será .
Vamos usar o princípio de conservação da energia. A energia total no início (quando a propulsão é desligada) é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
No infinito, a energia potencial gravitacional se aproxima de zero, então a energia total será apenas a energia cinética:
Como a energia é conservada:
Podemos simplificar a equação dividindo por :
Sabendo que e que , substituímos na equação:
Portanto, .

Resposta

a) O foguete escapará da atração terrestre porque sua velocidade inicial é maior que a velocidade de escape .
b) No infinito, a velocidade do foguete será .

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