Um foguete é acelerado, para cima, até atingir uma velocidade
nas vizinhanças da superfície da Terra, onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Depois disto, sua propulsão é desligada. a) Mostre que este foguete escapará da atração terrestre. b) Mostre que no infinito sua velocidade será
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que é acelerado para cima até atingir uma velocidade de
, onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Depois disso, a propulsão do foguete é desligada. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que o foguete escapará da atração terrestre.
b) Mostrar que, no infinito, a velocidade do foguete será .
a) Mostrar que o foguete escapará da atração terrestre.
b) Mostrar que, no infinito, a velocidade do foguete será
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia mecânica, energia cinética e potencial gravitacional, além das condições para um objeto escapar da atração gravitacional da Terra.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Para que o foguete escape da atração terrestre, a energia total (cinética + potencial) dele precisa ser pelo menos zero ao infinito. A energia cinética inicial do foguete é
e a energia potencial gravitacional é
, onde
é a constante gravitacional e
é a massa da Terra.
Mas é mais simples usar a velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para escapar da gravidade sem propulsão adicional. A velocidade de escape
é dada por:
Sabemos que
, então podemos substituir
de
:
Comparando com a velocidade do foguete
, vemos que:
Como a velocidade do foguete é maior que a velocidade de escape, ele certamente escapará da atração terrestre.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, no infinito, a velocidade do foguete será
.
Vamos usar o princípio de conservação da energia. A energia total no início (quando a propulsão é desligada) é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional:
No infinito, a energia potencial gravitacional se aproxima de zero, então a energia total será apenas a energia cinética:
Como a energia é conservada:
Podemos simplificar a equação dividindo por
:
Sabendo que
e que
, substituímos na equação:
Portanto,
.
Resposta
a) O foguete escapará da atração terrestre porque sua velocidade inicial
é maior que a velocidade de escape
.
b) No infinito, a velocidade do foguete será
.
Exercícios relacionados
Considere um corpo rígido
onde R é o raio do objeto,
sua massa e
um número que depende da forma. O corpo desce rolando (sem deslizar) apartir do topo de um plano inclinado de altura
e inclinação
, partindo do repouso. Existe atrito entre o objeto e a rampa. (a) Explique por que, mesmo com a presença deste atrito, podemos considerar que a energia mecânica se conserva. (b) Empregando a conservação da energia mecânica, obtenha a velocidade de translação do centro de massa na base da rampa em função da gravidade
, altura
e do fator
. © Obtenha a aceleração (translacional) do centro de massa em função de g,
e
caso este objeto. (d) Se colocássemos uma esfera maciça e um anel, para descerem juntos (partindo do repouso) neste plano inclinado, qual chegaria primeiro na base da rampa? Justifique! R: b)
, c)
d) a esfera
Sob a ação de duas forças, uma partícula se move com velocidade constante
. Uma das forças é
. Qual é a outra?
Calcule a velocidade escalar média nos seguintes casos: (a) Você percorre uma distância de
a uma velocidade de
, depois, corre
a uma velocidade de
, em uma pista retilínea. (b) Você caminha durante
a uma velocidade de 1,2
e, depois corre
a uma velocidade de
na mesma pista. Resp.: (a)
; (b)
.
Uma corredora cobre
em
e depois retorna andando 50
, em direção ao ponto de partida, em
. Qual é a sua velocidade escalar média, e qual é a velocidade média durante todo o evento? Resp.:
e