Considere o cubo , onde e M=(-2,-4,-2). Ache os vértices C, D, N, P e Q.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um cubo com alguns vértices já conhecidos: , , o vetor e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vértices , , , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores e propriedades dos cubos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto C = A + AC = (1 + (-4), 2 + (-1), 0 + 9) = (-3, 1, 9) . Sabemos que . O vetor nos indica como passar de para . Então, para encontrar , basta somar as componentes do vetor às coordenadas de :
Passo 3
Agora que temos AB = B - A = (3-1, -1-2, 6-0) = (2, -3, 6) , vamos encontrar o ponto D = B + AC = B + (-4,-1,9) = (3 + (-4), -1 + (-1), 6 + 9) = (-1, -2, 15) . No cubo, os lados e são perpendiculares e de igual comprimento. Primeiro, vamos calcular o vetor :
Como é perpendicular a e tem o mesmo comprimento, podemos usar o vetor como uma combinação linear que satisfaz essas condições. No entanto, para simplificar, como já temos , sabemos que é o vértice que completa o quadrado , então podemos usar a coordenada de para encontrar :
Passo 4
Com AM = M - A = (-2-1, -4-2, -2-0) = (-3, -6, -2) sendo um dos vértices superiores do cubo, precisamos encontrar N = B + AM = (3 + (-3), -1 + (-6), 6 + (-2)) = (0, -7, 4) , P = C + AM = (-3 + (-3), 1 + (-6), 9 + (-2)) = (-6, -5, 7) e Q = D + AM = (-1 + (-3), -2 + (-6), 15 + (-2)) = (-4, -8, 13) . Sabemos que as ligações verticais do cubo são paralelas aos vetores que ligam a base ao topo. Assim, o vetor que vai de até é:
Esse vetor será usado para encontrar os demais pontos superiores:
Para :
Para :
Para :
Resposta
As coordenadas dos vértices são:
C = (-3, 1, 9) D = (-1, -2, 15) N = (0, -7, 4) P = (-6, -5, 7) Q = (-4, -8, 13)