(2,0 pts) Sejam e a matrtiz mudança de base .
(b) Determine , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre mudança de base em álgebra linear. Temos uma base β com os vetores (1,1) e (-1,1) e uma matriz que faz a transição dessa base para outra base β₁. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁, ou seja, determinar [v]₁.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, no caso [I]_{β}^{β₁}, serve para converter as coordenadas de um vetor da base β para a base β₁. A matriz dada é:
Passo 3
Agora, precisamos expressar o vetor v = (1, π) na base β. Como β = { (1,1), (-1,1) }, vamos escrever v como uma combinação linear desses vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, as coordenadas de v na base β são:
Passo 5
Agora, para encontrar [v]₁, utilizamos a matriz de mudança de base. Multiplicamos a matriz [I]_{β}^{β₁} pelas coordenadas de v na base β:
Calculando:
[
\cdot
]
Passo 6
Simplificando as contas:
Primeira componente:
Segunda componente:
Resposta
Portanto, as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁ são: