(2,0 pts) Sejam e a matrtiz mudança de base .
(b) Determine , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre mudança de base em álgebra linear. Temos uma base β com os vetores (1,1) e (-1,1) e uma matriz que faz a transição dessa base para outra base β₁. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁, ou seja, determinar [v]₁.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, no caso [I]_{β}^{β₁}, serve para converter as coordenadas de um vetor da base β para a base β₁. A matriz dada é:

Passo 3

Agora, precisamos expressar o vetor v = (1, π) na base β. Como β = { (1,1), (-1,1) }, vamos escrever v como uma combinação linear desses vetores:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Somando as duas equações:
  1. Subtraindo a segunda da primeira:
Então, as coordenadas de v na base β são:

Passo 5

Agora, para encontrar [v]₁, utilizamos a matriz de mudança de base. Multiplicamos a matriz [I]_{β}^{β₁} pelas coordenadas de v na base β:
Calculando:

[

\cdot


]

Passo 6

Simplificando as contas:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁ são:

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