(2,0 pts) Sejam beta=(1,1),(-1,1) e a matrtiz mudança de base [I]beta^beta1=[cc1 / 2 & 1 / 2 -1 / 2 & 1 / 2].
(b) Determine [v]beta1, onde v=(1, pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre mudança de base em álgebra linear. Temos uma base β com os vetores (1,1) e (-1,1) e uma matriz que faz a transição dessa base para outra base β₁. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁, ou seja, determinar [v]₁.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base. Essa matriz, no caso [I]_{β}^{β₁}, serve para converter as coordenadas de um vetor da base β para a base β₁. A matriz dada é:
[I]beta^beta1 = 12 & 12 -12 & 12

Passo 3

Agora, precisamos expressar o vetor v = (1, π) na base β. Como β = { (1,1), (-1,1) }, vamos escrever v como uma combinação linear desses vetores:
v = a(1,1) + b(-1,1)
Isso resulta no sistema de equações:
a - b = 1 a + b = pi

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Somando as duas equações:
2a = 1 + pi implies a = 1 + pi2
  1. Subtraindo a segunda da primeira:
-2b = 1 - pi implies b = pi - 12
Então, as coordenadas de v na base β são:
[v]beta = 1 + pi2 pi - 12

Passo 5

Agora, para encontrar [v]₁, utilizamos a matriz de mudança de base. Multiplicamos a matriz [I]_{β}^{β₁} pelas coordenadas de v na base β:
[v]beta1 = [I]beta^beta1 cdot [v]beta
Calculando:

[
12 & 12 -12 & 12 cdot 1 + pi2 pi - 12 = 12 cdot 1 + pi2 + 12 cdot pi - 12 -12 cdot 1 + pi2 + 12 cdot pi - 12
\cdot


]

Passo 6

Simplificando as contas:
  1. Primeira componente:
12 cdot 1 + pi2 + 12 cdot pi - 12 = 1 + pi + pi - 14 = 2pi4 = pi2
  1. Segunda componente:
-12 cdot 1 + pi2 + 12 cdot pi - 12 = -(1 + pi) + (pi - 1)4 = -1 - pi + pi -14 = -24 = -12

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor v = (1, π) na base β₁ são:
[v]beta1 = pi2 -12

Exercícios relacionados