Encontre uma base ortonormal beta subset R^3 que elimine os termos x y, x z e y z da quádrica abaixo e escreva-a em termos dessa base:
x y+x z+x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base ortonormal x y + x z + x + y + z = 0 em que elimine os termos cruzados , e da quádica dada:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes simétricas e diagonalização, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a forma quádica de maneira mais clara. A forma geral de uma quádica em Q(x) = 12 x^T A x + b^T x + c = 0 é:
x y + x z + x + y + z = 0
No nosso caso, a equação é:
Q(x) = 12 x & y & z 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 x y z + 1 & 1 & 1 x y z = 0
Podemos reorganizar isso para identificar a matriz simétrica A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , o vetor e a constante :
Aqui, a matriz é:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal det(A - lambda I) = 0 que diagonalize a matriz det( -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 0 1 & 0 & -lambda ) = -lambda(-lambda^2) - 1( -lambda) + 1(0 - (-lambda)) = -lambda^3 + lambda + lambda = -lambda^3 + 2lambda = 0 . Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de -lambda (lambda^2 - 2) = 0 implies lambda = 0, raiz2, -raiz2 .
Primeiro, calculamos os autovalores resolvendo o determinante:
-raiz2 & 1 & 1 1 & -raiz2 & 0 1 & 0 & -raiz2 v1 v2 v3 = 0
Calculando:
Resolvendo:
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso leva a relações entre , e . Resolvendo, encontramos um autovetor proporcional a , que normalizamos para obter um vetor unitário.
Fazendo isso para e , conseguimos os demais autovetores normalizados.

Passo 4

Com os autovetores normalizados, formamos a base ortonormal . Cada vetor nessa base será perpendicular aos outros e de comprimento 1, garantindo que a matriz seja diagonal nessa nova base.
Finalmente, reescrevemos a forma quádica na base , o que eliminará os termos cruzados , e , deixando apenas termos com , e .

Resposta

A base ortonormal raiz2 , x'^2 - raiz2 , y'^2 + 0 , z'^2 = 0 que elimina os termos cruzados da quádica raiz2 , x'^2 - raiz2 , y'^2 = 0 em é composta pelos vetores próprios normalizados associados aos autovalores , e . Na base , a quádica fica diagonalizada da seguinte forma:
Ou simplificando:
Essa representação não possui termos cruzados, conforme solicitado.

Exercícios relacionados