Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso leva a relações entre , e . Resolvendo, encontramos um autovetor proporcional a , que normalizamos para obter um vetor unitário.
Fazendo isso para e , conseguimos os demais autovetores normalizados.
Passo 4
Com os autovetores normalizados, formamos a base ortonormal . Cada vetor nessa base será perpendicular aos outros e de comprimento 1, garantindo que a matriz seja diagonal nessa nova base.
Finalmente, reescrevemos a forma quádica na base , o que eliminará os termos cruzados , e , deixando apenas termos com , e .
Resposta
A base ortonormal raiz2 , x'^2 - raiz2 , y'^2 + 0 , z'^2 = 0 que elimina os termos cruzados da quádica raiz2 , x'^2 - raiz2 , y'^2 = 0 em é composta pelos vetores próprios normalizados associados aos autovalores , e . Na base , a quádica fica diagonalizada da seguinte forma:
Ou simplificando:
Essa representação não possui termos cruzados, conforme solicitado.