Encontre uma base ortonormal que elimine os termos e da quádrica abaixo e escreva-a em termos dessa base:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma base ortonormal em que elimine os termos cruzados , e da quádica dada:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente matrizes simétricas e diagonalização, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a forma quádica de maneira mais clara. A forma geral de uma quádica em é:
No nosso caso, a equação é:
Podemos reorganizar isso para identificar a matriz simétrica , o vetor e a constante :
Aqui, a matriz é:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal que diagonalize a matriz . Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de .
Primeiro, calculamos os autovalores resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo:
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso leva a relações entre , e . Resolvendo, encontramos um autovetor proporcional a , que normalizamos para obter um vetor unitário.
Fazendo isso para e , conseguimos os demais autovetores normalizados.

Passo 4

Com os autovetores normalizados, formamos a base ortonormal . Cada vetor nessa base será perpendicular aos outros e de comprimento 1, garantindo que a matriz seja diagonal nessa nova base.
Finalmente, reescrevemos a forma quádica na base , o que eliminará os termos cruzados , e , deixando apenas termos com , e .

Resposta

A base ortonormal que elimina os termos cruzados da quádica em é composta pelos vetores próprios normalizados associados aos autovalores , e . Na base , a quádica fica diagonalizada da seguinte forma:
Ou simplificando:
Essa representação não possui termos cruzados, conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Dados e , mostre que os vetores e são linearmentes dependentes.
Determine a forma quadrática a partir da forma bilinear simétrica abaixo:
.
Considere o cubo , onde e . Ache os vértices e .
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
.