Encontre a forma bilinear
tal que
, onde
é a base:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar uma forma bilinear
que corresponde a uma matriz específica quando usamos uma certa base
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação matricial de formas bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e é linear em cada um dos seus argumentos. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base
nos dá todos os coeficientes que definem essa função nesse sistema de coordenadas.
Passo 3
A base
dada é composta pelos vetores
e
. A matriz
fornecida é:
Essa matriz nos diz como a forma bilinear
atua nos vetores da base
.
Passo 4
Para encontrar a forma bilinear
em termos dos vetores
e
no espaço padrão, precisamos expressar
na base padrão a partir da base
. Isso envolve calcular a transformação usando a matriz de mudança de base.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de
para a base padrão, que é a matriz cujas colunas são os vetores de
:
Em seguida, calculamos a inversa dessa matriz
para fazer a transformação.
Passo 6
Calculando a inversa de
:
Passo 7
Agora, para encontrar a matriz de
na base padrão, usamos a relação:
Onde
é a inversa da transposta de
.
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Multiplicando as matrizes:
Fazendo as contas, obtemos a matriz de
na base padrão.
Passo 10
Após realizar as multiplicações, chegamos à matriz final de
na base padrão:
Resposta
A forma bilinear desejada é: