Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar uma forma bilinear que corresponde a uma matriz específica quando usamos uma certa base . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação matricial de formas bilineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e é linear em cada um dos seus argumentos. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base nos dá todos os coeficientes que definem essa função nesse sistema de coordenadas.
Passo 3
A base dada é composta pelos vetores e . A matriz fornecida é:
Essa matriz nos diz como a forma bilinear atua nos vetores da base .
Passo 4
Para encontrar a forma bilinear em termos dos vetores e no espaço padrão, precisamos expressar na base padrão a partir da base . Isso envolve calcular a transformação usando a matriz de mudança de base.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para a base padrão, que é a matriz cujas colunas são os vetores de :
Em seguida, calculamos a inversa dessa matriz para fazer a transformação.
Passo 6
Calculando a inversa de :
Passo 7
Agora, para encontrar a matriz de na base padrão, usamos a relação:
Onde é a inversa da transposta de .
Passo 8
Calculando :
Passo 9
Multiplicando as matrizes:
Fazendo as contas, obtemos a matriz de na base padrão.
Passo 10
Após realizar as multiplicações, chegamos à matriz final de na base padrão: