Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar uma forma bilinear que corresponde a uma matriz específica quando usamos uma certa base . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação matricial de formas bilineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e é linear em cada um dos seus argumentos. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base nos dá todos os coeficientes que definem essa função nesse sistema de coordenadas.

Passo 3

A base dada é composta pelos vetores e . A matriz fornecida é:
Essa matriz nos diz como a forma bilinear atua nos vetores da base .

Passo 4

Para encontrar a forma bilinear em termos dos vetores e no espaço padrão, precisamos expressar na base padrão a partir da base . Isso envolve calcular a transformação usando a matriz de mudança de base.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de para a base padrão, que é a matriz cujas colunas são os vetores de :
Em seguida, calculamos a inversa dessa matriz para fazer a transformação.

Passo 6

Calculando a inversa de :

Passo 7

Agora, para encontrar a matriz de na base padrão, usamos a relação:
Onde é a inversa da transposta de .

Passo 8

Calculando :

Passo 9

Multiplicando as matrizes:
Fazendo as contas, obtemos a matriz de na base padrão.

Passo 10

Após realizar as multiplicações, chegamos à matriz final de na base padrão:

Resposta

A forma bilinear desejada é:

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Considere o cubo , onde e . Ache os vértices e .
Encontre uma base ortonormal que elimine os termos e da quádrica abaixo e escreva-a em termos dessa base:
(2,0 pts) Sejam e a matrtiz mudança de base .
(b) Determine , onde
Encontre a forma bilinear tal que , onde é a base:
;