Encontre a forma bilinear B: R^2 times R^2 R tal que [B]alpha^alpha=[cc1 & -2 2 & 3], onde alpha subset R^2 é a base:
alpha=(1,2),(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar uma forma bilinear que corresponde a uma matriz específica quando usamos uma certa base . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como mudança de base e representação matricial de formas bilineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma forma bilinear. Basicamente, é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, e é linear em cada um dos seus argumentos. A matriz associada a uma forma bilinear em uma base nos dá todos os coeficientes que definem essa função nesse sistema de coordenadas.

Passo 3

A base 1 & -2 2 & 3 dada é composta pelos vetores e . A matriz fornecida é:
Essa matriz nos diz como a forma bilinear atua nos vetores da base .

Passo 4

Para encontrar a forma bilinear em termos dos vetores e no espaço padrão, precisamos expressar na base padrão a partir da base . Isso envolve calcular a transformação usando a matriz de mudança de base.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança de base de P = 1 & 2 2 & 1 para a base padrão, que é a matriz cujas colunas são os vetores de :
Em seguida, calculamos a inversa dessa matriz para fazer a transformação.

Passo 6

Calculando a inversa de det(P) = 1 cdot 1 - 2 cdot 2 = 1 - 4 = -3 :
P^-1 = 1-3 1 & -2 -2 & 1 = -1/3 & 2/3 2/3 & -1/3

Passo 7

Agora, para encontrar a matriz de [B] = P^-1 [B]alpha^alpha P^-T na base padrão, usamos a relação:
Onde é a inversa da transposta de .

Passo 8

Calculando P^-T = (P^-1)^T = -1/3 & 2/3 2/3 & -1/3 ^T = -1/3 & 2/3 2/3 & -1/3 :

Passo 9

Multiplicando as matrizes:
[B] = -1/3 & 2/3 2/3 & -1/3 1 & -2 2 & 3 -1/3 & 2/3 2/3 & -1/3
Fazendo as contas, obtemos a matriz de na base padrão.

Passo 10

Após realizar as multiplicações, chegamos à matriz final de [B] = -1 & 1 2 & 1 na base padrão:

Resposta

A forma bilinear desejada é:
B(u, v) = -u1 v1 + u1 v2 + 2 u2 v1 + u2 v2

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