Considere a curva C definida pela equação paramétrica x(t)=e^t e y(t)=e^2 t, em que t varia no intervalo -infty <= t <= 1
Há intersecção da curva C com o eixo x? Se sim, em quais pontos? Se não, justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de até . O objetivo é determinar se essa curva intercepta o eixo , ou seja, se há algum ponto na curva onde .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a curva interceptar o eixo . Em coordenadas cartesianas, o eixo é composto por todos os pontos onde a coordenada é igual a zero. Portanto, para encontrar uma interseção com o eixo , devemos encontrar valores de que fazem .

Passo 3

Vamos utilizar a equação paramétrica de y(t) = e^2t para encontrar tais valores de e^2t = 0 . Temos:
Queremos encontrar tal que :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação . Sabemos que a função exponencial é sempre positiva para qualquer valor real de . Isso significa que nunca será igual a zero, independentemente do valor de .

Resposta

Não, a curva não intercepta o eixo , pois nunca é igual a zero para nenhum valor de no intervalo dado.

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