Determine as coordenadas do vetor x, paralelo ao vetor w=(2,-3,0), tal que x times u=v, onde u=(1,-1,0) e v=(0,0,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do vetor x que é paralelo ao vetor w = (2, -3, 0). Além disso, x deve satisfazer a equação do produto vetorial x times u = v, onde u = (1, -1, 0) e v = (0, 0, 2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e produto vetorial.

Passo 2

Como x é paralelo a w, isso significa que x pode ser representado como um múltiplo escalar de w. Vamos chamar esse múltiplo de k. Então, podemos escrever:
x = k cdot w = k cdot (2, -3, 0) = (2k, -3k, 0)

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada pelo produto vetorial: x times u = v. Substituindo x e u na equação, temos:
(2k, -3k, 0) times (1, -1, 0) = (0, 0, 2)
Vamos calcular o produto vetorial passo a passo.

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
(a, b, c) times (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)
Aplicando isso aos nossos vetores:
(2k, -3k, 0) times (1, -1, 0) = [ (-3k)(0) - (0)(-1), (0)(1) - (2k)(0), (2k)(-1) - (-3k)(1) ]
Simplificando cada componente:
= (0 - 0, 0 - 0, -2k + 3k) = (0, 0, k)

Passo 5

Igualando o resultado do produto vetorial à v:
(0, 0, k) = (0, 0, 2)
Isso significa que o componente k deve ser igual a 2:
k = 2

Resposta

Portanto, o vetor x é:
x = 2 cdot (2, -3, 0) = (4, -6, 0)

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