Determine as coordenadas do vetor , paralelo ao vetor , tal que , onde e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do vetor que é paralelo ao vetor . Além disso, deve satisfazer a equação do produto vetorial , onde e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e produto vetorial.

Passo 2

Como é paralelo a , isso significa que pode ser representado como um múltiplo escalar de . Vamos chamar esse múltiplo de . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada pelo produto vetorial: . Substituindo e na equação, temos:
Vamos calcular o produto vetorial passo a passo.

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Igualando o resultado do produto vetorial à :
Isso significa que o componente deve ser igual a 2:

Resposta

Portanto, o vetor é:

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Uma partícula está se movendo ao longo do eixo de acordo com a equação , em que é o tempo.
Encontre os pontos em que a partícula muda de direção.
Calcule a inclinação da reta que passa pelos pontos:
Calcule o menor ângulo formado pelas retas:
Considere a curva definida pela equação paramétrica e , em que varia no intervalo
Há intersecção da curva com o eixo ? Se sim, em quais pontos? Se não, justifique sua resposta.