Determine as coordenadas do vetor u, que é ortogonal aos vetores v=(2,-3,1) e w= (1,-2,3), de modo que u cdot(1,2,-7)=10.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor u que é ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores v = (2, -3, 1) e w = (1, -2, 3). Além disso, temos que o produto escalar de u com o vetor (1, 2, -7) deve ser igual a 10. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produtos vetoriais e produtos escalares da matéria de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que u é ortogonal a v e w. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Mas aqui, a informação principal é que u é ortogonal a dois vetores diferentes, o que sugere que u está na direção perpendicular ao plano formado por v e w. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso aos vetores v e w:
v times w = ( (-3)(3) - (1)(-2), (1)(1) - (2)(3), (2)(-2) - (-3)(1) )
v times w = ( -9 + 2, 1 - 6, -4 + 3 ) = (-7, -5, -1)

Passo 4

Então, o vetor u deve ser um múltiplo do vetor v times w = (-7, -5, -1). Vamos chamar esse múltiplo de k, ou seja:
u = k cdot (-7, -5, -1) = (-7k, -5k, -k)

Passo 5

Agora, precisamos usar a segunda condição do problema: o produto escalar de u com (1, 2, -7) deve ser igual a 10. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso:
u cdot (1, 2, -7) = (-7k)(1) + (-5k)(2) + (-k)(-7) = -7k -10k +7k = (-7k -10k +7k) = -10k
De acordo com o problema, isso deve ser igual a 10:
-10k = 10

Passo 6

Vamos resolver para k:
-10k = 10 implies k = 10-10 = -1

Resposta

Portanto, o vetor u é:
u = -1 cdot (-7, -5, -1) = (7, 5, 1)

Exercícios relacionados