Determine as coordenadas do vetor
, que é ortogonal aos vetores
e
, de modo que
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor
que é ortogonal (ou seja, perpendicular) aos vetores
e
. Além disso, temos que o produto escalar de
com o vetor
deve ser igual a 10. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produtos vetoriais e produtos escalares da matéria de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é ortogonal a
e
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Mas aqui, a informação principal é que
é ortogonal a dois vetores diferentes, o que sugere que
está na direção perpendicular ao plano formado por
e
. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Passo 4
Então, o vetor
deve ser um múltiplo do vetor
. Vamos chamar esse múltiplo de
, ou seja:
Passo 5
Agora, precisamos usar a segunda condição do problema: o produto escalar de
com
deve ser igual a 10. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
De acordo com o problema, isso deve ser igual a 10:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Resposta
Portanto, o vetor
é: