Considere a curva que está na interseç̧ão do cone e o plano . Esboce e identifique o traço de e obtenha sua equação vetorial.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a curva de interseção entre um cone e um plano. Para isso, vamos utilizar sistemas de equações para determinar os pontos que satisfazem ambas as equações e, assim, traçar a curva resultante. Também iremos derivar a equação vetorial dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações dadas para encontrar uma relação entre e :
Igualando as duas expressões para :

Passo 3

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 4

Simplificando a equação resultante:
Essa é a equação de uma parábola no plano .

Passo 5

Agora, para obter a equação vetorial da curva , podemos parametrizar como parâmetro . Vamos definir:
Então, substituindo na equação :
E lembrando que .

Passo 6

Escolhendo como parâmetro e considerando apenas a parte positiva para simplificação, a equação vetorial fica:

Resposta

A equação vetorial da curva é:

Exercícios relacionados

Mostre que o traço de está sobre o plano .
Mostre que o traço de está sobre o parabolóide .
Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.
Determine o comprimento das seguintes curvas: