Considere a curva
que está na interseç̧ão do cone
e o plano
. Esboce e identifique o traço de
e obtenha sua equação vetorial.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a curva de interseção
entre um cone e um plano. Para isso, vamos utilizar sistemas de equações para determinar os pontos que satisfazem ambas as equações e, assim, traçar a curva resultante. Também iremos derivar a equação vetorial dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas equações dadas para encontrar uma relação entre
e
:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 4
Simplificando a equação resultante:
Essa é a equação de uma parábola no plano
.
Passo 5
Agora, para obter a equação vetorial da curva
, podemos parametrizar
como parâmetro
. Vamos definir:
Então, substituindo na equação
:
E lembrando que
.
Passo 6
Escolhendo
como parâmetro e considerando apenas a parte positiva para simplificação, a equação vetorial fica:
Resposta
A equação vetorial da curva
é:
Exercícios relacionados
Mostre que o traço de
está sobre o plano
.
Mostre que o traço de
está sobre o parabolóide
.
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.
Determine o comprimento das seguintes curvas: