Considere a curva C que está na interseç̧ão do cone z = raiz(x^2 + y^2) e o plano z = y + 2. Esboce e identifique o traço de C e obtenha sua equação vetorial.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a curva de interseção C entre um cone e um plano. Para isso, vamos utilizar sistemas de equações para determinar os pontos que satisfazem ambas as equações e, assim, traçar a curva resultante. Também iremos derivar a equação vetorial dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações dadas para encontrar uma relação entre x e y:
Igualando as duas expressões para z:

Passo 3

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 4

Simplificando a equação resultante:
Essa é a equação de uma parábola no plano xy.

Passo 5

Agora, para obter a equação vetorial da curva C, podemos parametrizar y como parâmetro t. Vamos definir:
Então, substituindo na equação :
E lembrando que .

Passo 6

Escolhendo t como parâmetro e considerando apenas a parte positiva para simplificação, a equação vetorial fica:

Resposta

A equação vetorial da curva C é:

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