Determine o comprimento das seguintes curvas:
r(t) = cos(t) i + sen(t) j + ln(cos(t)) k, 0 <= t <= pi/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre comprimento de curvas no espaço, que faz parte do cálculo vetorial. A gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica. O objetivo é descobrir qual é o comprimento da curva definida por:

Passo 2

Primeiro, pra achar o comprimento da curva, a gente precisa calcular a derivada da função vetorial r(t) em relação a t. Isso porque a fórmula do comprimento envolve a velocidade da curva.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de r(t):
  • A derivada de cos(t) em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é cos(t).
  • A derivada de em relação a t é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada de r(t) é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a “velocidade” da curva:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que , então:
E lembrando que , temos:

Passo 6

Agora, para achar o comprimento da curva, integramos de t = 0 até :

Passo 7

A integral de sec(t) é . Então:

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é:

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