Determine o comprimento das seguintes curvas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre comprimento de curvas no espaço, que faz parte do cálculo vetorial. A gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica. O objetivo é descobrir qual é o comprimento da curva definida por:

Passo 2

Primeiro, pra achar o comprimento da curva, a gente precisa calcular a derivada da função vetorial em relação a . Isso porque a fórmula do comprimento envolve a velocidade da curva.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a “velocidade” da curva:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que , então:
E lembrando que , temos:

Passo 6

Agora, para achar o comprimento da curva, integramos de até :

Passo 7

A integral de é . Então:

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é:

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Considere a curva que está na interseç̧ão do cone e o plano . Esboce e identifique o traço de e obtenha sua equação vetorial.
Descreva a curva de equação vetorial
onde e são constantes positivas, com .
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