Determine o comprimento das seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre comprimento de curvas no espaço, que faz parte do cálculo vetorial. A gente vai precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica. O objetivo é descobrir qual é o comprimento da curva definida por:
Passo 2
Primeiro, pra achar o comprimento da curva, a gente precisa calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso porque a fórmula do comprimento envolve a velocidade da curva.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a “velocidade” da curva:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
, então:
E lembrando que
, temos:
Passo 6
Agora, para achar o comprimento da curva, integramos
de
até
:
Passo 7
A integral de
é
. Então:
Passo 8
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
Portanto, o comprimento da curva é: