Mostre que o traço de
está sobre o plano
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente mostrar que a trajetória (ou traço) da função vetorial
, onde
é um número real positivo, está no plano dado pela equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como verificar se uma curva está contida em um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial
. Ela nos dá as coordenadas
em termos de
:
Passo 3
Agora, sabemos que para a trajetória estar no plano
, as coordenadas
devem satisfazer essa equação para todo valor de
no domínio dado. Então, vamos substituir
,
e
na equação do plano:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Para facilitar, multiplicamos tudo por
para eliminar os denominadores:
Observamos que
e
se cancelam, assim como
e
:
Resposta
Como a equação se reduz a
, isso confirma que para todo valor de
, a trajetória
está de fato sobre o plano
.
Exercícios relacionados
Mostre que o traço de
está sobre o parabolóide
.
Determine a equação vetorial da intersecção das superfícies
com
.
Considere a curva
que está na interseç̧ão do cone
e o plano
. Esboce e identifique o traço de
e obtenha sua equação vetorial.
Determine a equação vetorial
da reta tangente a curva no ponto especificado.