Mostre que o traço de está sobre o plano .

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente mostrar que a trajetória (ou traço) da função vetorial , onde é um número real positivo, está no plano dado pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como verificar se uma curva está contida em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial . Ela nos dá as coordenadas em termos de :

Passo 3

Agora, sabemos que para a trajetória estar no plano , as coordenadas devem satisfazer essa equação para todo valor de no domínio dado. Então, vamos substituir , e na equação do plano:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Para facilitar, multiplicamos tudo por para eliminar os denominadores:
Observamos que e se cancelam, assim como e :

Resposta

Como a equação se reduz a , isso confirma que para todo valor de , a trajetória está de fato sobre o plano .

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Mostre que o traço de está sobre o parabolóide .
Determine a equação vetorial da intersecção das superfícies com .
Considere a curva que está na interseç̧ão do cone e o plano . Esboce e identifique o traço de e obtenha sua equação vetorial.
Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.