Mostre que o traço de r(t) = t i + (1 + t)/t j + (1 - t^2)/t k, t ∈ R+está sobre o plano x - y + z + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente mostrar que a trajetória (ou traço) da função vetorial , onde t é um número real positivo, está no plano dado pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como verificar se uma curva está contida em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial r(t). Ela nos dá as coordenadas (x, y, z) em termos de t:

Passo 3

Agora, sabemos que para a trajetória estar no plano , as coordenadas (x, y, z) devem satisfazer essa equação para todo valor de t no domínio dado. Então, vamos substituir x, y e z na equação do plano:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Para facilitar, multiplicamos tudo por t para eliminar os denominadores:
Observamos que t^2 e se cancelam, assim como e t:

Resposta

Como a equação se reduz a , isso confirma que para todo valor de , a trajetória r(t) está de fato sobre o plano .

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