Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação vetorial da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a equação da reta no espaço. Primeiramente, precisamos descobrir para qual valor de a função passa pelo ponto dado e depois calcular a derivada para achar o vetor diretor da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que faz igual a . Isso significa resolver o sistema de equações:
Da terceira equação, , sabemos que porque . Vamos confirmar se esse valor satisfaz as outras equações:
  • Para com :
  • Para com :
Então, o valor de que atende o ponto dado é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para obter o vetor tangente à curva. A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente separadamente:
Calculando cada derivada:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, .

Passo 4

Vamos avaliar a derivada em para encontrar o vetor tangente no ponto específico:
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente à curva no ponto .

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Considere a curva que está na interseç̧ão do cone e o plano . Esboce e identifique o traço de e obtenha sua equação vetorial.
Mostre que o traço de está sobre o plano .
Determine o comprimento das seguintes curvas:
Descreva a curva de equação vetorial
onde e são constantes positivas, com .