Determine a equação vetorial da reta tangente a curva no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação vetorial da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a equação da reta no espaço. Primeiramente, precisamos descobrir para qual valor de a função passa pelo ponto dado e depois calcular a derivada para achar o vetor diretor da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de que faz igual a . Isso significa resolver o sistema de equações:
Da terceira equação, , sabemos que porque . Vamos confirmar se esse valor satisfaz as outras equações:
Para com : ✅
Para com : ✅
Então, o valor de que atende o ponto dado é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de para obter o vetor tangente à curva. A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente separadamente:
Calculando cada derivada:
Para :
Para :
Para :
Então, .
Passo 4
Vamos avaliar a derivada em para encontrar o vetor tangente no ponto específico:
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente à curva no ponto .