Mostre que o traço de r(t) = (t * sen(t), t * cos(t), t^2), t pertence a R está sobre o parabolóide z = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva parametrizada por , onde é um número real. O objetivo é mostrar que todos os pontos dessa curva estão sobre o parabolóide definido pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar as coordenadas da curva com a equação do parabolóide.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes , e da curva . A curva está definida por:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação do parabolóide para ver se iguala a .
Calculando :
Fatorando :

Passo 4

Sabemos de identidade trigonométrica que . Substituindo isso na equação:
Portanto:

Resposta

Concluímos que para todo valor de , a coordenada da curva satisfaz a equação do parabolóide . Assim, o traço de está de fato sobre o parabolóide .

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