Mostre que o traço de
está sobre o parabolóide
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva parametrizada por
, onde
é um número real. O objetivo é mostrar que todos os pontos dessa curva estão sobre o parabolóide definido pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar as coordenadas da curva com a equação do parabolóide.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes
,
e
da curva
. A curva está definida por:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação do parabolóide
para ver se iguala a
.
Calculando
:
Fatorando
:
Passo 4
Sabemos de identidade trigonométrica que
. Substituindo isso na equação:
Portanto:
Resposta
Concluímos que para todo valor de
, a coordenada
da curva satisfaz a equação do parabolóide
. Assim, o traço de
está de fato sobre o parabolóide
.