Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (5 - t, 4t - 3, 3t). Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P = (4, 1, 3) na direção que t cresce;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial . O objetivo é encontrar a função comprimento de arco dessa curva a partir do ponto na direção em que aumenta.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva definida por funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Para isso, igualamos as componentes de às coordenadas de :
Resolvendo cada equação:
Portanto, o ponto corresponde a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de arco desde até é:
Onde é a derivada da função vetorial em relação a , e representa a magnitude (ou norma) dessa derivada.
Teoria aplicada: O comprimento de arco mede a distância percorrida ao longo da curva entre dois pontos. Calculamos isso integrando a velocidade vetorial ao longo do intervalo de interesse.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada da função vetorial :
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Explicação: A derivada da função vetorial nos dá a velocidade vetorial ao longo da curva. A magnitude dessa derivada representa a taxa de variação do comprimento de arco com respeito a .

Passo 5

Com a magnitude constante , podemos integrar para encontrar o comprimento de arco desde até um valor geral :
Detalhe da integração: Como é constante em relação a , a integral dela em relação a de 1 até é simplesmente vezes .

Resposta

A função comprimento de arco da curva a partir do ponto na direção crescente de é:

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Mostre que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty(12^n+1-1) z^n
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Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
1 < |z| < 3;