Considere a curva dada pela função vetorial . Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto na direção que cresce;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial . O objetivo é encontrar a função comprimento de arco dessa curva a partir do ponto na direção em que aumenta.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva definida por funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Para isso, igualamos as componentes de às coordenadas de :
Resolvendo cada equação:
Portanto, o ponto corresponde a .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de arco desde até é:
Onde é a derivada da função vetorial em relação a , e representa a magnitude (ou norma) dessa derivada.
Teoria aplicada: O comprimento de arco mede a distância percorrida ao longo da curva entre dois pontos. Calculamos isso integrando a velocidade vetorial ao longo do intervalo de interesse.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da função vetorial :
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Explicação: A derivada da função vetorial nos dá a velocidade vetorial ao longo da curva. A magnitude dessa derivada representa a taxa de variação do comprimento de arco com respeito a .
Passo 5
Com a magnitude constante , podemos integrar para encontrar o comprimento de arco desde até um valor geral :
Detalhe da integração: Como é constante em relação a , a integral dela em relação a de 1 até é simplesmente vezes .
Resposta
A função comprimento de arco da curva a partir do ponto na direção crescente de é: