Encontre os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto indicado. vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um ponto específico nessa curva. Queremos encontrar três vetores importantes nesse ponto: o vetor tangente unitário , o vetor normal unitário T e o vetor binormal N. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas de vetores e os conceitos de Frenet-Serret, que descrevem como esses vetores se comportam ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade . Esse vetor é tangente à curva.
Calculando a derivada da terceira componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos avaliar no ponto . Sabemos que corresponde a , pois , e .
Substituindo na derivada:
Esse é o vetor tangente, mas ainda não é unitário. Para obter , precisamos normalizar esse vetor.
Então, o vetor tangente unitário é:
T

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada do vetor tangente T em relação a t para obter o vetor . Vamos derivar T:
Como já normalizamos no passo anterior e no ponto t = 0, a derivada simplifica para:
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, avaliamos no ponto t = 0:
Para encontrar o vetor normal unitário , normalizamos N:
Então,

Passo 6

Finalmente, o vetor binormal B é o produto vetorial entre T e N:
Calculando:

Resposta

Os vetores no ponto são:

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Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (5 - t, 4t - 3, 3t). Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P = (4, 1, 3) na direção que t cresce;
Mostre que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty(12^n+1-1) z^n
para |z|<1
Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
1 < |z| < 3;
Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
|z| > 3;