Encontre os vetores (tangente unitário), (normal unitário) e (binormal) no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e um ponto específico nessa curva. Queremos encontrar três vetores importantes nesse ponto: o vetor tangente unitário , o vetor normal unitário e o vetor binormal . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas de vetores e os conceitos de Frenet-Serret, que descrevem como esses vetores se comportam ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Esse vetor é tangente à curva.
Calculando a derivada da terceira componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos avaliar no ponto . Sabemos que corresponde a , pois , e .
Substituindo na derivada:
Esse é o vetor tangente, mas ainda não é unitário. Para obter , precisamos normalizar esse vetor.
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada do vetor tangente em relação a para obter o vetor . Vamos derivar :
Como já normalizamos no passo anterior e no ponto , a derivada simplifica para:
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, avaliamos no ponto :
Para encontrar o vetor normal unitário , normalizamos :
Então,
Passo 6
Finalmente, o vetor binormal é o produto vetorial entre e :