Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
1 < |z| < 3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de desenvolver a função em uma série de Laurent para o intervalo . Isso pertence à matéria de Análise Complexa, especificamente sobre séries de Laurent. Vamos precisar manipular frações parciais e entender como expandir cada parte da função para que a série fique válida nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em frações parciais para facilitar a expansão. Queremos escrever na forma:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, as constantes são e .

Passo 4

Agora que temos e , a função fica:
Vamos expandir cada termo separadamente em série de Laurent válida para .

Passo 5

Primeiro, vamos expandir . Podemos reescrever como:
Reconhecemos uma série geométrica para . Aqui, , então a série converge para , que está dentro do nosso intervalo .
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos expandir . Podemos reescrever como:
Aqui, novamente usamos a série geométrica , desta vez com . A série converge para , ou seja, , o que também está dentro do nosso intervalo .
Assim:

Passo 7

Agora, juntamos as expansões das duas frações parciais na expressão original de :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, combinamos os termos para obter a série de Laurent completa para no intervalo :

Resposta

A série de Laurent de para é:

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