Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à respectiva curva no ponto dado:
-
-
.
Passo 1
Então, galera! Temos dois problemas aqui que envolvem encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico usando derivação implícita. A matéria que vamos usar é cálculo, especificamente derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma equação onde x e y estão misturados e depois encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro problema:
, no ponto
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, usamos a regra da cadeia.
A derivada de
é
.
A derivada de
é
(usamos a regra do produto).
A derivada de
é
.
A derivada de 3 é 0.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Vamos juntar os termos que têm
:
Fatorando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir o ponto
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto.
Passo 6
Sabemos que a equação da reta tangente é da forma
, onde
é a inclinação e
é o intercepto.
Temos
e o ponto
. Vamos substituir na equação para encontrar
:
Passo 7
Então, a equação da reta tangente para o primeiro problema é:
Passo 8
Agora, vamos para o segundo problema:
, no ponto
.
Passo 9
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto.
Derivada de
:
Derivada de
:
Então, temos:
Passo 10
Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 11
Vamos reunir os termos com
:
Fatorando
:
Então:
Passo 12
Agora, substituímos o ponto
na derivada para encontrar a inclinação.
Primeiro, calcule
:
Substituindo na derivada:
Passo 13
Agora, usando a equação da reta tangente
, onde
e o ponto
, vamos encontrar
:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
- Para
no ponto :
- Para
no ponto :
Exercícios relacionados
Considere a curva dada pelo gráfico de
. Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.
No esboço da função abaixo, repita os estudos do problema anterior, e acrescente a determinação das assíntotas verticais e horizontais:
Qual ponto da parábola
está mais próximo de
?
Determine o valor verdade de
.
A. V
B. F
A. V
B. F