Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à respectiva curva no ponto dado:
  • x^2 + x*y + y^2 = 3, P = (1,1)
  • 2(x^2 + y^2)^2 = 25(x^2 - y^2), P = (3, 1).

Passo 1

Então, galera! Temos dois problemas aqui que envolvem encontrar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico usando derivação implícita. A matéria que vamos usar é cálculo, especificamente derivadas implícitas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma equação onde x e y estão misturados e depois encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro problema: , no ponto .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, usamos a regra da cadeia.
A derivada de é .
A derivada de é (usamos a regra do produto).
A derivada de é .
A derivada de 3 é 0.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Vamos juntar os termos que têm :
Fatorando :
Então:

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto.

Passo 6

Sabemos que a equação da reta tangente é da forma , onde é a inclinação e é o intercepto.
Temos e o ponto . Vamos substituir na equação para encontrar :

Passo 7

Então, a equação da reta tangente para o primeiro problema é:

Passo 8

Agora, vamos para o segundo problema: , no ponto .

Passo 9

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto.
Derivada de :
Derivada de :
Então, temos:

Passo 10

Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2:
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 11

Vamos reunir os termos com :
Fatorando :
Então:

Passo 12

Agora, substituímos o ponto na derivada para encontrar a inclinação.
Primeiro, calcule :
Substituindo na derivada:

Passo 13

Agora, usando a equação da reta tangente , onde e o ponto , vamos encontrar :

Resposta

As equações das retas tangentes são:
  1. Para no ponto :
  1. Para no ponto :

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