Qual ponto da parábola
está mais próximo de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente encontrar qual ponto da parábola
está mais próximo do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distância entre dois pontos
e
pode ser calculada usando a fórmula da distância:
Mas para facilitar a matemática, vamos trabalhar com o quadrado da distância, já que o valor mínimo será o mesmo:
Passo 3
Sabemos que
. Então, podemos substituir essa expressão na fórmula do quadrado da distância:
Simplificando a parte de
:
Passo 4
Agora, vamos expandir as expressões para simplificar:
Expandindo
:
Então,
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar
. Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Essa é uma equação cúbica complicada de resolver analiticamente, então vamos usar a aproximação numérica. Usando métodos como Newton-Raphson ou ferramentas de cálculo, encontramos que a solução real mais próxima é aproximadamente:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da parábola para encontrar
:
Resposta
O ponto da parábola
mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à respectiva curva no ponto dado:
-
-
.
Considere a curva dada pelo gráfico de
. Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.
Determine o valor verdade de
.
A. V
B. F
A. V
B. F
Derivando a fórmula de adição
obtenha a fórmula de adição para a função cosseno.