Qual ponto da parábola y = x^2 + 3 x + 2 está mais próximo de (1, -2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente encontrar qual ponto da parábola está mais próximo do ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância entre dois pontos e pode ser calculada usando a fórmula da distância:
Mas para facilitar a matemática, vamos trabalhar com o quadrado da distância, já que o valor mínimo será o mesmo:

Passo 3

Sabemos que . Então, podemos substituir essa expressão na fórmula do quadrado da distância:
Simplificando a parte de :

Passo 4

Agora, vamos expandir as expressões para simplificar:
Expandindo :
Então,
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar . Vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a zero:

Passo 6

Essa é uma equação cúbica complicada de resolver analiticamente, então vamos usar a aproximação numérica. Usando métodos como Newton-Raphson ou ferramentas de cálculo, encontramos que a solução real mais próxima é aproximadamente:

Passo 7

Agora, substituímos na equação da parábola para encontrar :

Resposta

O ponto da parábola mais próximo de é .

Exercícios relacionados

Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à respectiva curva no ponto dado:
  • x^2 + x*y + y^2 = 3, P = (1,1)
  • 2(x^2 + y^2)^2 = 25(x^2 - y^2), P = (3, 1).
Considere a curva dada pelo gráfico de y = x / (1 + x^2). Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto 2,2 / 5. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.
Determine o valor verdade de sqrt(5) * sqrt(20) = 10 <=> raiz(3)(20 + 17) > raiz(3)(20) + raiz(3)(17).
A. V
B. F
Derivando a fórmula de adição
sen(x+a) = sen(x) * cos(a) + cos(x) * sen(a)
obtenha a fórmula de adição para a função cosseno.