Considere a curva dada por
Determine a derivada de
e encontre o vetor tangente unitário no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma curva definida pela função vetorial
e precisa encontrar a derivada dessa função e, depois, encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
, que é
. A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente da função separadamente em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
- A primeira componente é
. A derivada disso em relação a é . - A segunda componente é
. A derivada de é , então temos . - A terceira componente é
. A derivada de é , então aqui fica .
Então, a derivada
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor tangente no ponto onde
. Primeiro, substituímos
na derivada
:
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário, a gente precisa normalizar o vetor
. Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude (tamanho).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Passo 6
Agora, dividimos cada componente de
pela magnitude:
Resposta
A derivada da função vetorial é
e o vetor tangente unitário no ponto onde
é
.