Considere a curva dada por r(t) = <t^2 + 2, 3 cos(t), e^(2t)> 0,5 Determine a derivada de r(t) e encontre o vetor tangente unitário no ponto onde t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma curva definida pela função vetorial e precisa encontrar a derivada dessa função e, depois, encontrar o vetor tangente unitário no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de , que é . A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente da função separadamente em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada componente de :
  1. A primeira componente é . A derivada disso em relação a é .
  2. A segunda componente é . A derivada de é , então temos .
  3. A terceira componente é . A derivada de é , então aqui fica .
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor tangente no ponto onde . Primeiro, substituímos na derivada :

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário, a gente precisa normalizar o vetor . Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude (tamanho).
Primeiro, calculamos a magnitude de :

Passo 6

Agora, dividimos cada componente de pela magnitude:
á

Resposta

A derivada da função vetorial é e o vetor tangente unitário no ponto onde é .

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