Em que direção unitária a função do item a) no ponto
tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta em qual direção unitária a função tem a taxa de variação máxima no ponto
e qual é essa taxa. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função no ponto
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Suponha que a função seja
. Calculamos as derivadas parciais:
Avalie essas derivadas no ponto
.
Passo 4
A direção unitária de maior taxa de variação é exatamente a direção do gradiente normalizado. Então, a direção desejada é:
onde
é a norma do gradiente.
Passo 5
A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente no ponto considerado, ou seja:
Resposta
A direção unitária em que a função tem taxa de variação máxima no ponto
é o vetor gradiente normalizado
e a taxa de variação máxima é
.