0,5 Em que direção unitária a função do item a) no ponto P(2,1,1) tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta em qual direção unitária a função tem a taxa de variação máxima no ponto e qual é essa taxa. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Suponha que a função seja . Calculamos as derivadas parciais:
Avalie essas derivadas no ponto .

Passo 4

A direção unitária de maior taxa de variação é exatamente a direção do gradiente normalizado. Então, a direção desejada é:
onde é a norma do gradiente.

Passo 5

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente no ponto considerado, ou seja:
çãá

Resposta

A direção unitária em que a função tem taxa de variação máxima no ponto é o vetor gradiente normalizado e a taxa de variação máxima é .

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