A temperatura em um ponto
é dada por
onde
é medido
e
metros.
(a) Determine a taxa de variaçâo da temperatura no ponto
em direção ao ponto (3, -3,3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
?
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo variação de temperatura. Temos a função temperatura:
Primeiro, vamos notar que a função depende das variáveis
,
e
, mas na verdade,
não aparece na expressão. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas parciais e direção de variação, usando gradiente e vetores. Vamos precisar calcular o gradiente da função
e entender como ele se relaciona com a direção da máxima variação.
Passo 2
Vamos simplificar a função temperatura primeiro. Observando a expressão:
Isso porque
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Como
não depende de
, temos:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Simplificando os expoentes:
Então:
Passo 5
Parte (a): Taxa de variação da temperatura na direção de
Primeiro, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de
.
A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é o módulo do vetor
:
Então:
Agora, a taxa de variação da temperatura na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando:
Passo 6
Parte (b): Direção de maior crescimento da temperatura em
A direção de maior crescimento da temperatura é exatamente a direção do gradiente
.
Então, a direção é o vetor
:
Para expressar essa direção como um vetor unitário, normalizamos o gradiente:
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Resposta
(a) A taxa de variação da temperatura no ponto
na direção de
é:
(b) A direção de maior crescimento da temperatura em
é o vetor unitário: