A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z) = 200 e^(-y^2 - y^2 - x^2) onde T é medido em °C e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variaçâo da temperatura no ponto P(2, -1, 2) em direção ao ponto (3, -3,3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo variação de temperatura. Temos a função temperatura:
Primeiro, vamos notar que a função depende das variáveis , e , mas na verdade, não aparece na expressão. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas parciais e direção de variação, usando gradiente e vetores. Vamos precisar calcular o gradiente da função e entender como ele se relaciona com a direção da máxima variação.

Passo 2

Vamos simplificar a função temperatura primeiro. Observando a expressão:
Isso porque . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
Como não depende de , temos:
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo e na expressão do gradiente:
Simplificando os expoentes:
Então:

Passo 5

Parte (a): Taxa de variação da temperatura na direção de

Primeiro, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de .
A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é o módulo do vetor :
Então:
Agora, a taxa de variação da temperatura na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando:

Passo 6

Parte (b): Direção de maior crescimento da temperatura em

A direção de maior crescimento da temperatura é exatamente a direção do gradiente .
Então, a direção é o vetor :
Para expressar essa direção como um vetor unitário, normalizamos o gradiente:
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Resposta

(a) A taxa de variação da temperatura no ponto na direção de é:
(b) A direção de maior crescimento da temperatura em é o vetor unitário:

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