9- A energia do oscilador harmônico linear é dada por
E=p^22 m+12 m omega^2 x^2
em que m é a massa da partícula em movimento harmônico simples e omega é a freqüência da oscilação. (a) Deduza e mostre a expressão para a energia média <E>. (Dica: para o oscilador harmônico lang<= xrang<==lang<= p>=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a energia total de um oscilador harmônico linear, que é dada por
E = p^22m + 12 m omega^2 x^2
Aqui, é a massa da partícula que está oscilando, é a frequência da oscilação, é o momento e é o deslocamento. O que a gente precisa fazer é encontrar a energia média desse sistema. Para isso, vamos usar o fato de que, para o oscilador harmônico, as médias de e são zero, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia total é composta por duas partes: a energia cinética e a energia potencial . Para encontrar a energia média , precisamos calcular a média dessas duas componentes separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética média lang<= p^22m rang<= = 12m lang<= p^2 rang<= . Sabemos que,
E, segundo a física do oscilador harmônico, , onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 4

Substituindo lang<= p^22m rang<= = 12m times m kB T = 12 kB T na expressão da energia cinética média, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial média lang<= 12 m omega^2 x^2 rang<= = 12 m omega^2 lang<= x^2 rang<= . De forma similar à energia cinética,
E sabemos que .

Passo 6

Substituindo lang<= 12 m omega^2 x^2 rang<= = 12 m omega^2 times kB Tm omega^2 = 12 kB T na expressão da energia potencial média, temos:

Passo 7

Agora, somamos as energias cinética e potencial médias para encontrar a energia total média lang<= E rang<= = lang<= p^22m rang<= + lang<= 12 m omega^2 x^2 rang<= = 12 kB T + 12 kB T = kB T :

Resposta

A energia média do oscilador harmônico linear é
lang<= E rang<= = kB T

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