Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente à curva definida pela equação no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é uma técnica para encontrar a inclinação da tangente quando a equação da curva não está resolvida para .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da reta tangente. Como a equação está implícita (ou seja, não está isolado), vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
A equação é:
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo:
Diferenciando :
Aqui usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por .
A derivada de é 1, então:(Lembrando que é a derivada de em relação a )
Diferenciando :
Também usamos a regra do produto.
A derivada de é , então:
Diferenciando :
A derivada de uma constante é 0:
Passo 4
Agora, juntamos tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm :
Passo 5
Isolando para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 6
Agora, vamos calcular no ponto . Basta substituir e pelos valores dados:
Substituindo na expressão:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é , vamos usar a fórmula da reta tangente. A fórmula geral para a reta tangente em um ponto é:
Substituindo e :
Resposta
Simplificando a equação, a reta tangente à curva no ponto é: