Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente à curva definida pela equação no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que é uma técnica para encontrar a inclinação da tangente quando a equação da curva não está resolvida para .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da reta tangente. Como a equação está implícita (ou seja, não está isolado), vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
A equação é:

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Diferenciando :
    • Aqui usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por .
    • A derivada de é 1, então: (Lembrando que é a derivada de em relação a )
  2. Diferenciando :
    • Também usamos a regra do produto.
    • A derivada de é , então:
  3. Diferenciando :
    • A derivada de uma constante é 0:

Passo 4

Agora, juntamos tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Isolando para encontrar a inclinação da reta tangente:

Passo 6

Agora, vamos calcular no ponto . Basta substituir e pelos valores dados:
Substituindo na expressão:
Sabemos que:
Então:

Passo 7

Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é , vamos usar a fórmula da reta tangente. A fórmula geral para a reta tangente em um ponto é:
Substituindo e :

Resposta

Simplificando a equação, a reta tangente à curva no ponto é:

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