Uma escada de 15 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sua parte superior desliza pela parede enquanto sua parte inferior se move ao longo do nível do solo. Se a base da escada desliza com a velocidade de
, quão rápido varia o ângulo que a escada faz com a parede quando esse ângulo é
radianos?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma escada de 15 metros apoiada em uma parede vertical. A base da escada está deslizando pelo chão a uma velocidade de
. Queremos descobrir quão rápido o ângulo
que a escada forma com a parede está mudando quando esse ângulo é
radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas.
Passo 2
Imagine a escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Seja
a distância da base da escada até a parede e
a altura que a escada alcança na parede. Sabemos que o comprimento da escada é constante, então podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Queremos relacionar as velocidades com que
e
estão mudando. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Simplificando:
Isso nos permitirá relacionar
e
.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar
. Sabemos que:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Passo 5
Quando
, podemos encontrar
e
usando as relações trigonométricas:
Usando a equação
:
Agora, substituímos
na expressão para
:
Resposta
O ângulo
está diminuindo a uma taxa de aproximadamente
quando
radianos.
Exercícios relacionados
Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto
dado:
Seja
uma função contínua e considere
Calcule a derivada de
em
. Dica: Use a definição de derivada.
Um fabricante precisa fazer uma lata cilíndrica com capacidade para 2 litros de líquido. Determine as dimensões da lata que minimizarão a quantidade de material usado em sua construção. Dica: Área superficial e volume do cilindro de raio
e altura
:
Duas variáveis
e
são funções de uma variável
e estão relacionadas pela equação:
Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 1 quando
então determine qual a taxa de variação de
em relação a
neste mesmo instante. RESPOSTA: