Seja f: R -> R uma função contínua e considere
F: R -> R, F(x) := f(x) * sen(x)
Calcule a derivada de F em x = 0. Dica: Use a definição de derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função no ponto . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de em é definida por:
Isso significa que precisamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir na expressão do limite:
Simplificando isso:
Como , a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos separar a expressão em duas partes multiplicando e dividindo por :
Sabemos que:
E, como é contínua em , temos:

Passo 5

Aplicando esses limites separados, podemos multiplicar os resultados:

Resposta

A derivada de em é .

Exercícios relacionados