Seja
uma função contínua e considere
Calcule a derivada de
em
. Dica: Use a definição de derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de
em
é definida por:
Isso significa que precisamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos substituir
na expressão do limite:
Simplificando isso:
Como
, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos separar a expressão em duas partes multiplicando e dividindo por
:
Sabemos que:
E, como
é contínua em
, temos:
Passo 5
Aplicando esses limites separados, podemos multiplicar os resultados:
Resposta
A derivada de
em
é
.