Um fabricante precisa fazer uma lata cilíndrica com capacidade para 2 litros de líquido. Determine as dimensões da lata que minimizarão a quantidade de material usado em sua construção. Dica: Área superficial e volume do cilindro de raio r e altura h :
A = 2 * pi * r^2 + 2 * pi * r * h ; V = pi * r^2 * h

Passo 1

Então, a gente tem aqui um problema onde um fabricante quer fazer uma lata cilíndrica que possa guardar 2 litros de líquido. A missão é descobrir qual deve ser o raio ( r) e a altura ( h) dessa lata para que a quantidade de material usado na construção seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos cilindros, especificamente como calcular a área superficial e o volume. As fórmulas que vamos usar são:
Á

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume da lata precisa ser exatamente 2 litros. Para trabalhar com as fórmulas, é mais fácil manter o volume em termos de pi e r. A fórmula do volume é:
Queremos achar uma relação entre r e h que satisfaça essa equação. Vamos isolar h:

Passo 3

Agora que temos h em termos de r, podemos substituir essa expressão na fórmula da área superficial A. Isso vai nos deixar com uma função que depende apenas de r, facilitando a tarefa de encontrar o valor de r que minimiza a área:
Substituindo h:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor de r que minimiza a área A. Para isso, precisamos derivar a função A em relação a r e encontrar onde essa derivada é igual a zero (ponto de mínimo).
Vamos calcular a derivada de A:

Passo 5

Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para r:
Multiplicando ambos os lados por r^2 para eliminar o denominador:
Dividindo ambos os lados por 4 pi:
Então, tirando a raiz cúbica:

Passo 6

Agora que temos o valor de r, podemos encontrar a altura h usando a relação que encontramos no Passo 2:
Substituindo r:

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são:

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