Um fabricante precisa fazer uma lata cilíndrica com capacidade para 2 litros de líquido. Determine as dimensões da lata que minimizarão a quantidade de material usado em sua construção. Dica: Área superficial e volume do cilindro de raio
e altura
:
Passo 1
Então, a gente tem aqui um problema onde um fabricante quer fazer uma lata cilíndrica que possa guardar 2 litros de líquido. A missão é descobrir qual deve ser o raio (
) e a altura (
) dessa lata para que a quantidade de material usado na construção seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos cilindros, especificamente como calcular a área superficial e o volume. As fórmulas que vamos usar são:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume da lata precisa ser exatamente 2 litros. Para trabalhar com as fórmulas, é mais fácil manter o volume em termos de
e
. A fórmula do volume é:
Queremos achar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir essa expressão na fórmula da área superficial
. Isso vai nos deixar com uma função que depende apenas de
, facilitando a tarefa de encontrar o valor de
que minimiza a área:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza a área
. Para isso, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero (ponto de mínimo).
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, tirando a raiz cúbica:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar a altura
usando a relação que encontramos no Passo 2:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são: