Um fabricante precisa fazer uma lata cilíndrica com capacidade para 2 litros de líquido. Determine as dimensões da lata que minimizarão a quantidade de material usado em sua construção. Dica: Área superficial e volume do cilindro de raio
e altura
:
Passo 1
Então, a gente tem aqui um problema onde um fabricante quer fazer uma lata cilíndrica que possa guardar 2 litros de líquido. A missão é descobrir qual deve ser o raio (
) e a altura (
) dessa lata para que a quantidade de material usado na construção seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos cilindros, especificamente como calcular a área superficial e o volume. As fórmulas que vamos usar são:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume da lata precisa ser exatamente 2 litros. Para trabalhar com as fórmulas, é mais fácil manter o volume em termos de
e
. A fórmula do volume é:
Queremos achar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir essa expressão na fórmula da área superficial
. Isso vai nos deixar com uma função que depende apenas de
, facilitando a tarefa de encontrar o valor de
que minimiza a área:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza a área
. Para isso, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero (ponto de mínimo).
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, tirando a raiz cúbica:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar a altura
usando a relação que encontramos no Passo 2:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são:
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Uma escada de 15 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sua parte superior desliza pela parede enquanto sua parte inferior se move ao longo do nível do solo. Se a base da escada desliza com a velocidade de
, quão rápido varia o ângulo que a escada faz com a parede quando esse ângulo é
radianos?
Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto
dado:
Duas variáveis
e
são funções de uma variável
e estão relacionadas pela equação:
Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 1 quando
então determine qual a taxa de variação de
em relação a
neste mesmo instante. RESPOSTA:
Às
o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à
e o navio B está navegando para o sul a
então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às
. RESPOSTA: