Use a mudança de variáveis para concluir que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte integral para resolver:
O que a questão pede é usar a mudança de variável para mostrar que essas duas integrais são iguais. Vamos precisar entender como a substituição de variáveis funciona em integrais e como alterar os limites de integração quando fazemos essa troca.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição de variável proposta: . Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de ao invés de .

Passo 3

Precisamos também encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos alterar os limites de integração. Quando , substituindo na equação :
E quando :
Então, os novos limites de integração para serão de a .

Passo 5

Vamos reescrever a integral original usando a substituição:
Notice que trocamos por e por .

Passo 6

Simplificando a expressão:
Aqui, trocamos os limites de integração e eliminamos o sinal negativo.

Passo 7

Se a função for uma função par, ou seja, , então:
Mesmo que não seja especificada como par, a mudança de variável mostra que as integrais são equivalentes sob a substituição .

Resposta

Portanto, usando a mudança de variável , mostramos que:

Exercícios relacionados

Use a mudança de variáveis para concluir que
Seja uma função contínua e considere
Calcule a derivada de em . Dica: Use a definição de derivada.
Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto dado: