Use a mudança de variáveis
para concluir que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte integral para resolver:
O que a questão pede é usar a mudança de variável
para mostrar que essas duas integrais são iguais. Vamos precisar entender como a substituição de variáveis funciona em integrais e como alterar os limites de integração quando fazemos essa troca.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição de variável proposta:
. Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de
ao invés de
.
Passo 3
Precisamos também encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos alterar os limites de integração. Quando
, substituindo na equação
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração para
serão de
a
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original usando a substituição:
Notice que trocamos
por
e
por
.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Aqui, trocamos os limites de integração e eliminamos o sinal negativo.
Passo 7
Se a função
for uma função par, ou seja,
, então:
Mesmo que
não seja especificada como par, a mudança de variável mostra que as integrais são equivalentes sob a substituição
.
Resposta
Portanto, usando a mudança de variável
, mostramos que:
Exercícios relacionados
Use a mudança de variáveis
para concluir que
Seja
uma função contínua e considere
Calcule a derivada de
em
. Dica: Use a definição de derivada.
Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto
dado: