Use a mudança de variáveis y=-x para concluir que
integral-a^0 f(x) d x=integral0^a f(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte integral para resolver:
integral-a^0 f(x) , dx = integral0^a f(y) , dy
O que a questão pede é usar a mudança de variável para mostrar que essas duas integrais são iguais. Vamos precisar entender como a substituição de variáveis funciona em integrais e como alterar os limites de integração quando fazemos essa troca.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição de variável proposta: . Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de ao invés de .

Passo 3

Precisamos também encontrar a derivada de dydx = -1 Rightarrow dx = -dy em relação a para substituir o na integral. Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos alterar os limites de integração. Quando y = -(-a) = a , substituindo na equação y = -0 = 0 :
E quando :
Então, os novos limites de integração para serão de a .

Passo 5

Vamos reescrever a integral original usando a substituição:
integral-a^0 f(x) , dx = integrala^0 f(-y) cdot (-dy)
Notice que trocamos por e por .

Passo 6

Simplificando a expressão:
integrala^0 f(-y) cdot (-dy) = integral0^a f(-y) , dy
Aqui, trocamos os limites de integração e eliminamos o sinal negativo.

Passo 7

Se a função integral0^a f(-y) , dy = integral0^a f(y) , dy for uma função par, ou seja, , então:
Mesmo que não seja especificada como par, a mudança de variável mostra que as integrais são equivalentes sob a substituição .

Resposta

Portanto, usando a mudança de variável integral-a^0 f(x) , dx = integral0^a f(y) , dy , mostramos que:

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