Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto
dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela equação
e precisa encontrar a reta tangente nesse ponto específico
. Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar a derivada
quando a equação não está resolvida para
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
e
.
- Derivada de
em relação a :
Mais uma vez, usamos a regra do produto.
- Derivada de
em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, colocando tudo junto:
Passo 3
Agora, vamos isolar
, que é a inclinação da reta tangente que queremos encontrar.
Rearranjando os termos:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Vamos calcular
no ponto
.
Substituindo
e
na expressão da derivada:
Primeiro, calculemos os valores trigonométricos:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação
e o ponto
, podemos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto
é: