Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto p dado:
x * sen(y) + y * sen(x) = pi ; p = (pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela equação e precisa encontrar a reta tangente nesse ponto específico . Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação não está resolvida para .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar e .
  1. Derivada de em relação a :
Mais uma vez, usamos a regra do produto.
  1. Derivada de em relação a é 0, já que é uma constante.
Então, colocando tudo junto:

Passo 3

Agora, vamos isolar , que é a inclinação da reta tangente que queremos encontrar.
Rearranjando os termos:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Vamos calcular no ponto .
Substituindo e na expressão da derivada:
Primeiro, calculemos os valores trigonométricos:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é:

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