Determine os pontos de máximo e mínimo globais da função no domínio dado:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
no intervalo de
. O objetivo é encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais dentro desse domínio. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para identificar os pontos críticos e analisar os extremos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajudará a encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos.
A derivada de
é
e a derivada de
usando a regra da cadeia é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Isso ocorre quando
.
Isso ocorre quando
e
.
Passo 5
Agora, temos os seguintes pontos críticos:
.
Vamos avaliar a função
nesses pontos para encontrar os valores correspondentes.
Passo 6
Analisando os valores obtidos:
O valor máximo é
, atingido em
e
.
O valor mínimo é
, atingido em
.
Resposta
Os pontos de máximo global da função
são
e
, com valor máximo
. O ponto de mínimo global é
, com valor mínimo
.
Exercícios relacionados
Considere a curva definida implicitamente pela equação e determine sua reta tangente no ponto
dado:
Derive a função
Escreva uma equação para a reta tangente à curva
1,5
no ponto
1,5
no ponto
A velocidade de uma onda de comprimento
em água profunda
onde
e
são constantes positivas. Qual é o comprimento de onda que dá a velocidade minima?