Determine os pontos de máximo e mínimo globais da função no domínio dado:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função no intervalo de . O objetivo é encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos globais dentro desse domínio. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para identificar os pontos críticos e analisar os extremos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajudará a encontrar os pontos onde a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos.
A derivada de é e a derivada de usando a regra da cadeia é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Isso ocorre quando .
Isso ocorre quando e .

Passo 5

Agora, temos os seguintes pontos críticos: .
Vamos avaliar a função nesses pontos para encontrar os valores correspondentes.

Passo 6

Analisando os valores obtidos:
O valor máximo é , atingido em e .
O valor mínimo é , atingido em .

Resposta

Os pontos de máximo global da função são e , com valor máximo . O ponto de mínimo global é , com valor mínimo .

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