Escreva uma equação para a reta tangente à curva
1,5
no ponto
y(1+x^2) = 5x P = (3, 3/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o uso de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva de uma forma que facilite a diferenciação. A equação dada é:
Vamos isolar :
Agora temos em função de , ou seja, .

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto , precisamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da tangente.
Vamos derivar usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo o :
Somando em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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