Considere a curva definida por
Encontre o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma curva definida por duas funções paramétricas:
e
, onde
varia de 0 a
. O que a gente precisa encontrar é o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curva no plano, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se
e
são funções que descrevem a curva, o comprimento
é dado por:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
, que no nosso caso são 0 e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos fatorar o 9 e
que é comum nos dois termos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.