Considere a curva definida por
x(t) = cos(t)^3 e y(t) = sen(t)^3, 0 <= t <= pi/2
Encontre o comprimento da curva.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma curva definida por duas funções paramétricas: e , onde varia de 0 a . O que a gente precisa encontrar é o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curva no plano, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se e são funções que descrevem a curva, o comprimento é dado por:
Aqui, e são os limites do parâmetro , que no nosso caso são 0 e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Vamos fatorar o 9 e que é comum nos dois termos:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples. Seja , então . Quando , ; quando , . Assim, a integral fica:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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