Considere a curva definida por
Encontre o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma curva definida por duas funções paramétricas:
e
, onde
varia de 0 a
. O que a gente precisa encontrar é o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de curva no plano, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se
e
são funções que descrevem a curva, o comprimento
é dado por:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
, que no nosso caso são 0 e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento da curva:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos fatorar o 9 e
que é comum nos dois termos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
A integral
é imprópria e convergente;
Seja
diferenciável. Calcule
, sabendo que
e que
é igual a área da região
entre o gráfico de
e a reta
.
Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a)
e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(b)
©
(d)
(e)