Seja diferenciável. Calcule , sabendo que e que é igual a área da região entre o gráfico de e a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a integral definida de . A gente sabe que é uma função diferenciável, ou seja, tem derivada em todo lugar, e que . Além disso, a integral representa a área da região entre o gráfico da função e a reta . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes e também entender como relacionar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções e é baseada na fórmula:
Aqui, vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e . Calculando, temos:
Porque a integral da derivada de é a própria função .

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o termo :
Sabemos que , então esse termo vale 3.

Passo 4

Agora, a segunda parte é a integral . O enunciado diz que essa integral é igual à área da região entre e . Vamos calcular essa área.
Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em . Igualando , temos:
Então, os limites vão de a .
A área é:
Vamos integrar:
Avaliado de a :
Então, .

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a curva definida por
Encontre o comprimento da curva.
Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .
Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado: