Seja
diferenciável. Calcule
, sabendo que
e que
é igual a área da região
entre o gráfico de
e a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a integral definida de
. A gente sabe que
é uma função diferenciável, ou seja, tem derivada em todo lugar, e que
. Além disso, a integral
representa a área da região
entre o gráfico da função
e a reta
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes e também entender como relacionar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções e é baseada na fórmula:
Aqui, vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
. Calculando, temos:
Porque a integral da derivada de
é a própria função
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o termo
:
Sabemos que
, então esse termo vale 3.
Passo 4
Agora, a segunda parte é a integral
. O enunciado diz que essa integral é igual à área da região
entre
e
. Vamos calcular essa área.
Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em
. Igualando
, temos:
Então, os limites vão de
a
.
A área
é:
Vamos integrar:
Avaliado de
a
:
Então,
.
Passo 5
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a curva definida por
Encontre o comprimento da curva.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a)
e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(b)
©
(d)
(e)
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado: