Seja f diferenciável. Calcule integral0^1 x f^prime(x) d x, sabendo que f(1)=3 e que integral0^1 f(t) d t é igual a área da região R entre o gráfico de x=y^2-1 e a reta x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a integral definida de . A gente sabe que é uma função diferenciável, ou seja, tem derivada em todo lugar, e que . Além disso, a integral representa a área da região entre o gráfico da função e a reta . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes e também entender como relacionar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções e é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher du = dx e v = integral f^prime(x) dx = f(x) . Assim, precisamos encontrar e . Calculando, temos:
Porque a integral da derivada de é a própria função .

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x f^prime(x) dx = [x f(x)]0^1 - integral0^1 f(x) dx
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, o termo [1 cdot f(1)] - [0 cdot f(0)] = f(1) - 0 = f(1) :
Sabemos que , então esse termo vale 3.

Passo 4

Agora, a segunda parte é a integral y^2 - 1 = 3 Rightarrow y^2 = 4 Rightarrow y = pm 2 . O enunciado diz que essa integral é igual à área da região A = integral-2^2 (3 - (y^2 - 1)) dy = integral-2^2 (4 - y^2) dy entre integral (4 - y^2) dy = 4y - y^33 e [4(2) - 2^33] - [4(-2) - (-2)^33] = (8 - 83) - (-8 + 83) = 16 - 163 = 323 . Vamos calcular essa área.
Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em . Igualando , temos:
Então, os limites vão de a .
A área é:
Vamos integrar:
Avaliado de a :
Então, .

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:
integral0^1 x f^prime(x) dx = f(1) - integral0^1 f(x) dx = 3 - 323 = 93 - 323 = -233

Resposta

integral0^1 x f^prime(x) , dx = -233

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