Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função
está crescendo ou descendo. Além disso, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que vamos chamar de
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do produto para derivar
:
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Podemos simplificar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Resolvendo a equação:
Isso ocorre quando:
Resolvendo:
Passo 4
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Os pontos críticos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar um valor de
em cada intervalo na derivada
:
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
Passo 5
Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, observamos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa nos pontos críticos:
-
Em
: - A função muda de decrescente para decrescente (não há mudança de comportamento).
- Não há máximo ou mínimo local.
-
Em
: - A função muda de decrescente para crescente.
- Isso indica um mínimo local.
Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Esse é um valor mínimo local, mas é bem grande e negativo devido ao expoente 23.
Resposta
A função
é decrescente para
e crescente para
. Ela possui um mínimo local no ponto
.
Exercícios relacionados
A integral
é imprópria e convergente;
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Considere a curva definida por
Encontre o comprimento da curva.
Seja
diferenciável. Calcule
, sabendo que
e que
é igual a área da região
entre o gráfico de
e a reta
.