Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função está crescendo ou descendo. Além disso, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que vamos chamar de . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do produto para derivar :
Calculando as derivadas individuais:
Então:
Podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Resolvendo a equação:
Isso ocorre quando:
Resolvendo:

Passo 4

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Os pontos críticos dividem a linha dos números em intervalos. Vamos testar um valor de em cada intervalo na derivada :
  1. Intervalo : Escolha
  1. Intervalo : Escolha
  1. Intervalo : Escolha

Passo 5

Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, observamos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa nos pontos críticos:
  • Em :
    • A função muda de decrescente para decrescente (não há mudança de comportamento).
    • Não há máximo ou mínimo local.
  • Em :
    • A função muda de decrescente para crescente.
    • Isso indica um mínimo local.
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Esse é um valor mínimo local, mas é bem grande e negativo devido ao expoente 23.

Resposta

A função é decrescente para e crescente para . Ela possui um mínimo local no ponto .

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Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .
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