A integral integral0^pi / 4 cotg x d x é imprópria e convergente;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, pois a função tem comportamento especial próximo a . Para resolver, vamos utilizar limites e propriedades da função cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a cotangente. A função cot x = cos xsin x é definida como o quociente entre o cosseno e o seno de :
Essa definição nos ajuda a encontrar a primitiva de , ou seja, uma função cuja derivada é .

Passo 3

Sabemos que a primitiva de integral cot x , dx = ln |sin x| + C é:
onde é a constante de integração. Isso significa que, para calcular a integral definida, vamos avaliar nos limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de integral0^pi /4 cot x , dx = ln |sin (pi /4)| - ln |sin 0| a :
No entanto, percebemos que , o que faz com que não esteja definido (pois tende ao infinito negativo). Isso indica que a integral é imprópria no limite inferior.

Passo 5

Para resolver essa integral imprópria, usamos limites. Definimos a integral como o limite quando integral0^pi /4 cot x , dx = lima to 0^+ integrala^pi /4 cot x , dx se aproxima de pela direita:

Passo 6

Calculando a integral definida dentro do limite:
integrala^pi /4 cot x , dx = ln |sin (pi /4)| - ln |sin a|
Sabemos que ln ( raiz22 ) - ln (sin a) , então substituímos:

Passo 7

Agora, analisamos o limite quando lima to 0^+ [ ln ( raiz22 ) - ln a ] = ln ( raiz22 ) - (-infty) = +infty . Sabemos que, para valores muito pequenos de , . Então, , e conforme se aproxima de , tende a .
Portanto:

Resposta

A integral é imprópria e divergente, ou seja, seu valor tende ao infinito.

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