A integral
é imprópria e convergente;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias, pois a função
tem comportamento especial próximo a
. Para resolver, vamos utilizar limites e propriedades da função cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a cotangente. A função
é definida como o quociente entre o cosseno e o seno de
:
Essa definição nos ajuda a encontrar a primitiva de
, ou seja, uma função cuja derivada é
.
Passo 3
Sabemos que a primitiva de
é:
onde
é a constante de integração. Isso significa que, para calcular a integral definida, vamos avaliar
nos limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
No entanto, percebemos que
, o que faz com que
não esteja definido (pois
tende ao infinito negativo). Isso indica que a integral é imprópria no limite inferior.
Passo 5
Para resolver essa integral imprópria, usamos limites. Definimos a integral como o limite quando
se aproxima de
pela direita:
Passo 6
Calculando a integral definida dentro do limite:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, analisamos o limite quando
. Sabemos que, para valores muito pequenos de
,
. Então,
, e conforme
se aproxima de
,
tende a
.
Portanto:
Resposta
A integral
é imprópria e divergente, ou seja, seu valor tende ao infinito.
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