Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir quais das alternativas representam a reta tangente e a reta normal à curva definida por:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente e, a partir dela, descobrir a reta normal. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos igualar as equações de e a 1 e 0, respectivamente.
Para :
Agora, vamos verificar qual desses valores de faz .
Para :
Para :
Então, é o valor que nos dá o ponto .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar as derivadas e .
Para :
Para :
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar a inclinação da reta tangente , usamos a fórmula da derivada de em relação a :
A inclinação da reta normal é o negativo do inverso de :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da reta na forma geral para encontrar as equações das retas tangente e normal passando pelo ponto .
Para a reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é:
Podemos rearranjar para a forma geral:
Para a reta normal:
Então, a equação da reta normal é:
Rearranjando para a forma geral:

Resposta

A alternativa correta é a ©:

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