Um disco não condutor com raio possui uma densidade superficial de carga positiva e uniforme. (a) Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância do seu centro. Suponha que seja positivo. (b) Qual o valor do campo elétrico quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade que envolve o campo elétrico produzido por um disco carregado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de campo elétrico e distribuição de carga elétrica. Precisamos usar a teoria do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga, especificamente para um disco com carga superficial uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos encontrar na parte (a): o campo elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância do centro. Imagine o disco no plano com seu centro na origem. O ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo , a uma distância acima do centro.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua, usamos a integral do campo elétrico gerado por pequenos elementos de carga. No caso do disco, vamos considerar um anel infinitesimal de raio e espessura .

Passo 4

A carga desse anel infinitesimal é dada por:
Aqui, é a densidade superficial de carga e é a área do anel.

Passo 5

O campo elétrico devido a esse anel no ponto a distância ao longo do eixo tem apenas componente na direção , devido à simetria. A componente radial se cancela. A contribuição do campo do anel é:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o campo total , integramos de até :

Passo 8

Fazendo uma substituição para resolver a integral, seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 9

Integrando:
Aplicando os limites:

Passo 10

Simplificando (já que é positivo):

Passo 11

Agora, para a parte (b), queremos saber o valor de quando . Nesse caso, , então:
Como , o termo é muito pequeno e podemos ignorá-lo:

Resposta

Quando , o campo elétrico é aproximadamente:

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