Um disco não condutor com raio
possui uma densidade superficial de carga
positiva e uniforme. (a) Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância
do seu centro. Suponha que
seja positivo. (b) Qual o valor do campo elétrico quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade que envolve o campo elétrico produzido por um disco carregado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de campo elétrico e distribuição de carga elétrica. Precisamos usar a teoria do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga, especificamente para um disco com carga superficial uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos encontrar na parte (a): o campo elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância
do centro. Imagine o disco no plano
com seu centro na origem. O ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo
, a uma distância
acima do centro.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua, usamos a integral do campo elétrico gerado por pequenos elementos de carga. No caso do disco, vamos considerar um anel infinitesimal de raio
e espessura
.
Passo 4
A carga desse anel infinitesimal é dada por:
Aqui,
é a densidade superficial de carga e
é a área do anel.
Passo 5
O campo elétrico devido a esse anel no ponto a distância
ao longo do eixo
tem apenas componente na direção
, devido à simetria. A componente radial se cancela. A contribuição do campo do anel é:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 8
Fazendo uma substituição para resolver a integral, seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 9
Integrando:
Aplicando os limites:
Passo 10
Simplificando
(já que
é positivo):
Passo 11
Agora, para a parte (b), queremos saber o valor de
quando
. Nesse caso,
, então:
Como
, o termo
é muito pequeno e podemos ignorá-lo:
Resposta
Quando
, o campo elétrico é aproximadamente:
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e
.
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