Um disco não condutor com raio R possui uma densidade superficial de carga (sigma) positiva e uniforme. (a) Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância x do seu centro. Suponha que x seja positivo. (b) Qual o valor do campo elétrico quando R gg >x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade que envolve o campo elétrico produzido por um disco carregado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de campo elétrico e distribuição de carga elétrica. Precisamos usar a teoria do campo elétrico gerado por distribuições contínuas de carga, especificamente para um disco com carga superficial uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos encontrar na parte (a): o campo elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância do centro. Imagine o disco no plano com seu centro na origem. O ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo , a uma distância acima do centro.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua, usamos a integral do campo elétrico gerado por pequenos elementos de carga. No caso do disco, vamos considerar um anel infinitesimal de raio e espessura .

Passo 4

A carga desse anel infinitesimal é dada por:
dq = sigma cdot dA = sigma cdot 2pi r , dr
Aqui, é a densidade superficial de carga e é a área do anel.

Passo 5

O campo elétrico devido a esse anel no ponto a distância dEz = 14piepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + r^2)^3/2 ao longo do eixo tem apenas componente na direção , devido à simetria. A componente radial se cancela. A contribuição do campo do anel é:

Passo 6

Substituindo dEz = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , dr cdot x(x^2 + r^2)^3/2 na expressão de dEz = sigma x r , dr2epsilon0 (x^2 + r^2)^3/2 :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o campo total Ez = integral0^R sigma x r , dr2epsilon0 (x^2 + r^2)^3/2 , integramos de até :

Passo 8

Fazendo uma substituição para resolver a integral, seja Ez = sigma x4epsilon0 integralx^2^x^2 + R^2 u^-3/2 , du , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 9

Integrando:
integral u^-3/2 , du = -2u^-1/2
Aplicando os limites:
Ez = sigma x4epsilon0 [ -2u^-1/2 ]x^2^x^2 + R^2 = sigma x2epsilon0 ( 1raizx^2 - 1raizx^2 + R^2 )

Passo 10

Simplificando Ez = sigma2epsilon0 ( 1 - xraizx^2 + R^2 ) (já que é positivo):

Passo 11

Agora, para a parte (b), queremos saber o valor de E approx sigma2epsilon0 ( 1 - xR ) quando E approx sigma2epsilon0 . Nesse caso, , então:
Como , o termo é muito pequeno e podemos ignorá-lo:

Resposta

Quando E approx sigma2epsilon0 , o campo elétrico é aproximadamente:

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