Considere uma curva elevada (curva que tem uma inclinação em relação à horizontal) na qual há um coeficiente de atrito estático mus e um coeficiente de atrito cinético muc entre os pneus do carro e a estrada. O raio da curva é R e sua inclinação lateral é alpha. Calcule as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para que ele consiga fazer esta curva. Resp: vmin =raizg R(tan alpha-mus) /(1+mus tan alpha) e v máx =raizg R(tan alpha+mus) /(1-mus tan alpha)á

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um carro andando em uma curva inclinada (aquela curva que não é plana, mas tem um angulinho ). Nessa curva, os pneus do carro têm um atrito estático com a estrada, com coeficiente , e também atrito cinético . A curva tem um raio .
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade mínima e máxima que o carro pode ter para conseguir passar por essa curva sem derrapar. Para isso, vamos usar conceitos de física do estudo do movimento em curvas com atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão atuando no carro enquanto ele faz a curva. Existem basicamente duas forças principais:
  1. Força Gravitacional ( ): Puxa o carro para baixo devido à gravidade.
  2. Força de Atrito ( ): Age na direção oposta ao deslizamento, podendo ajudar ou atrapalhar na manutenção do movimento na curva.
Além disso, como a curva está inclinada, temos também a componente normal da força, que é perpendicular à superfície da estrada.

Passo 3

Como a curva está inclinada, vamos dividir as forças em componentes paralelas e perpendiculares à superfície da curva. Isso ajuda a entender melhor como cada força contribui para manter o carro na trajetória circular.
  • Componente Perpendicular ( ): Esta é a força normal que a estrada exerce sobre o carro, perpendicular à superfície da curva.
  • Componente Paralela: Aqui, temos a combinação da força de atrito e a componente da força gravitacional que atua ao longo da inclinação da curva.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para movimento circular. Sabemos que a força centrípeta necessária para manter o carro na curva é dada por:
Fc = m v^2R
Onde:
  • é a massa do carro
  • é a velocidade do carro
  • é o raio da curva
Essa força centrípeta deve ser fornecida pela combinação da componente da força normal e da força de atrito.

Passo 5

Vamos considerar duas situações:
  1. Velocidade Máxima ( á): O carro está na velocidade mais alta que consegue manter sem derrapar para fora da curva. Aqui, o atrito atua contra a tendência do carro de sair da curva, ou seja, para dentro da curva.
  2. Velocidade Mínima ( ): O carro está na velocidade mais baixa que consegue manter sem derrapar para dentro da curva. Nesse caso, o atrito atua na direção oposta, ajudando a evitar que o carro deslize para dentro da curva.

Passo 6

Vamos montar as equações de equilíbrio para cada situação.
Para m vmáx^2R = m g tan alpha + mus m g cos alpha á:
A força centrípeta é fornecida pela componente da força normal mais a força de atrito:
m vmin^2R = m g tan alpha - mus m g cos alpha á
Para :
A força centrípeta é fornecida pela componente da força normal menos a força de atrito:

Passo 7

Vamos simplificar as equações retirando a massa vmáx^2R = g tan alpha + mus g cos alpha , já que ela aparece em todos os termos:
Para vmin^2R = g tan alpha - mus g cos alpha á:
á
Para :

Passo 8

Agora, vamos resolver essas equações para vmáx^2 = R g ( tan alpha + mus cos alpha ) á e vmáx = raizg R ( tan alpha + mus ) / ( 1 - mus tan alpha ) .
Para vmin = raizg R ( tan alpha - mus ) / ( 1 + mus tan alpha ) á:
Multiplicando ambos os lados por :
á
Mas sabemos que , então podemos reescrever a equação em termos de :
á
Para :
Seguindo o mesmo processo:

Resposta

As velocidades mínima e máxima que o carro pode ter para fazer a curva são dadas por:
vmin = raiz g R ( tan alpha - mus )1 + mus tan alpha
vmáx = raiz g R ( tan alpha + mus )1 - mus tan alpha á

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