Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição
dada acima, com
Descreva o movimento de uma partícula com posição
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por equações paramétricas
e
, que forma uma elipse. O objetivo é descrever como uma partícula se move ao longo dessa elipse quando o ângulo
varia em dois intervalos: de
a
e de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de uma elipse e como o parâmetro
afeta a posição da partícula.
Passo 2
Vamos começar analisando as equações paramétricas dadas:
Essas equações representam uma elipse centrada na origem. A equação geral da elipse é:
onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Comparando com as nossas equações:
Isso significa que a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento 3 na direção y e um semi-eixo menor de comprimento 2 na direção x.
Passo 3
Agora, vamos entender como o ângulo
influencia a posição da partícula. À medida que
varia, a partícula se move ao longo da elipse. Quando
:
Então, a partícula começa no ponto
.
Passo 4
Conforme
aumenta de
a
, a partícula percorre toda a elipse uma vez completa. Por exemplo:
- Quando
:
Então, a partícula está no ponto
.
- Quando
:
Agora, a partícula está no ponto
.
- Quando
:
A partícula está no ponto
e, finalmente, retorna ao ponto inicial
quando
.
Passo 5
Para o intervalo de
de
a
, a partícula percorre apenas metade da elipse. Vamos ver:
- Quando
:
A partícula está no ponto
.
- À medida que
aumenta até , a partícula se move para passando por .
Portanto, nesse intervalo, a partícula percorre da parte inferior esquerda da elipse até a parte superior direita, completando meio percurso.
Resposta
Quando
varia de
a
, a partícula percorre toda a elipse uma vez completa, movendo-se no sentido anti-horário a partir do ponto
. Já no intervalo de
a
, a partícula percorre apenas metade da elipse, indo do ponto
até
e retornando a
.
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Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Encontre as equações da reta tangente à curva que passam pelo ponto
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Verdadeiro ou Falso?
Se a curva paramétrica satisfaz
então ela tem uma tanfente horizontal quanfo
.
Se a curva paramétrica
Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Mostre que tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.
Mostre que
Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.