Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) dada acima, com 0 <= theta <= 2 pi ecom - pi/2 <= theta <= pi/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por equações paramétricas e , que forma uma elipse. O objetivo é descrever como uma partícula se move ao longo dessa elipse quando o ângulo varia em dois intervalos: de a e de a . Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de uma elipse e como o parâmetro afeta a posição da partícula.

Passo 2

Vamos começar analisando as equações paramétricas dadas:
Essas equações representam uma elipse centrada na origem. A equação geral da elipse é:
onde e são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Comparando com as nossas equações:
Isso significa que a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento 3 na direção y e um semi-eixo menor de comprimento 2 na direção x.

Passo 3

Agora, vamos entender como o ângulo influencia a posição da partícula. À medida que varia, a partícula se move ao longo da elipse. Quando :
Então, a partícula começa no ponto .

Passo 4

Conforme aumenta de a , a partícula percorre toda a elipse uma vez completa. Por exemplo:
  • Quando :
Então, a partícula está no ponto .
  • Quando :
Agora, a partícula está no ponto .
  • Quando :
A partícula está no ponto e, finalmente, retorna ao ponto inicial quando .

Passo 5

Para o intervalo de de a , a partícula percorre apenas metade da elipse. Vamos ver:
  • Quando :
A partícula está no ponto .
  • À medida que aumenta até , a partícula se move para passando por .
    Portanto, nesse intervalo, a partícula percorre da parte inferior esquerda da elipse até a parte superior direita, completando meio percurso.

Resposta

Quando varia de a , a partícula percorre toda a elipse uma vez completa, movendo-se no sentido anti-horário a partir do ponto . Já no intervalo de a , a partícula percorre apenas metade da elipse, indo do ponto até e retornando a .

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