Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma curva definida por equações paramétricas onde
e
. O conteúdo envolvido aqui é a concavidade de curvas paramétricas, que nos ajuda a determinar se a curva está curvando para cima ou para baixo em diferentes partes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da curva em relação a
.
Passo 2
Para encontrar a concavidade, primeiro vamos calcular a primeira derivada
. Em curvas paramétricas, isso é feito dividindo
por
.
Dado que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Para isso, derivamos
em relação a
e dividimos por
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de
para determinar a concavidade:
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
Considerando a expressão
:
- Quando
, , então a concavidade é para cima. - Quando
, , então a concavidade é para baixo. - Quando
, a segunda derivada não está definida.
Resposta
A curva é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
.
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e
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Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição dada acima, com
Descreva o movimento de uma partícula com posição
Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule o comprimento de arco no intervalo .
Calcule o comprimento de arco no intervalo
Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.