Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma curva definida por equações paramétricas onde e . O conteúdo envolvido aqui é a concavidade de curvas paramétricas, que nos ajuda a determinar se a curva está curvando para cima ou para baixo em diferentes partes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da curva em relação a .

Passo 2

Para encontrar a concavidade, primeiro vamos calcular a primeira derivada . Em curvas paramétricas, isso é feito dividindo por .
Dado que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, derivamos em relação a e dividimos por .
Primeiro, derivamos em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, analisamos o sinal de para determinar a concavidade:
  • Se , a curva é côncava para cima.
  • Se , a curva é côncava para baixo.
Considerando a expressão :
  • Quando , , então a concavidade é para cima.
  • Quando , , então a concavidade é para baixo.
  • Quando , a segunda derivada não está definida.

Resposta

A curva é côncava para cima quando e côncava para baixo quando .

Exercícios relacionados

Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Mostre que C tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.
Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) dada acima, com 0 <= theta <= 2 pi ecom - pi/2 <= theta <= pi/2
Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule o comprimento de arco no intervalo 0 <= theta <= pi.
Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x = cos(theta), y = sec(theta)